المنير في الرياضيات الفصل الدراسي الثاني الوحدة الرابعة واخلامسة فندقي وسياحي منهاج جديد

Transcript

1 المنير في الرياضيات الفصل الدراي الثاني الوحدة الرابعة واخلامة توجيهي أدبي فندقي وياحي منهاج جديد 0 األتاذ منري أبو بر 0070

2 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الفهر الفصل الدراي الثاني الوحدة الرابعة : التامل وتطبيقاته الفصل األول : التامل.. التامل غير المحدود التامل المحدود 7 خصائص التامل المحدود التامل بالتعويض 0 الفصل الثاني : تطبيقات التامل 0 تطبيقات هندية 7 تطبيقات فيزيائية 7 الماحة 7 الفصل الثالث : االقترانات اللوغاريتمي الطبيعي واألي الطبيعي وتطبيقاتهما 7 االقتران اللوغاريتمي الطبيعي 7 االقتران األي الطبيعي النمو واالضمحالل حل أئلة الوحدة 0

3 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الوحدة الخامة : اإلحصاء واالحتماالت..0 الفصل األول : طرائق العد..0 أوال : مبدأ العد..9 ثانيا : التباديل ثالثا : التوافيق الفصل الثاني : المتغيرات العشوائية المنفصلة والمتصلة أوال : المتغير العشوائي المنفصل وتوزيع ذي الحدين ثانيا : العالمة المعيارية 9 ثالثا : التوزيع الطبيعي الفصل الثالث : االرتباط واالنحدار. أوال : االرتباط 77 ثانيا : خط االنحدار 7 حل أئلة الوحدة..0 ملحق : جدول التوزيع الطبيعي المعياري

4 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر التامل غير المحدود عملية التامل هي عملية عية للتفاضل ( االشتقاق( أو هي عملية إعادة االقتران إلى حالته االصلية قبل االشتقاق تعريف التامل بالرموز : ق ( x ق( ج حيث ج ثابت التامل يمى التامل غير محدود ألن هنا قيم غير محدودة يمن أن يأخذها الثابت ج التامل واالشتقاق عمليتان متعاتان أي يلغي أحدهما االخر أي أن : مشتقة (التامل غير المحدود لالقتران ق( ق( ومعناها بالرموز : ق( x ق( x x مثال التاب صفحة ( إذا ان ص ( x فجد xص x عندما باشتقاق الطرفين : ( x ( ( x x xص x ( ( عندما صx x صفحة تدريب التاب إذا ان ص x فجد xص x عندما

5 x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر x( ( x x باشتقاق الطرفين : xص x ( ( عندما صx x قواعد التامل : : القاعدة أ x أ ج حيث أ ثابت x مثال ج : x القاعدة ن ن ن ج حيث ن ج x مثال : مراجعة في تجهيز الأ قبل التامل حب القاعدة حيث x ن 0 ن حيث ن x ن 0 ن 0 ن 0 x ن حيث حيث ن x x ن ن x ن حيث ن x x x : القاعدة جا جتا ج : القاعدة جتا x جا ج : القاعدة قا x ظا ج حيث ج ثابت التامل ( مثال جتا قا جا ( x جا جتا ج ظا

6 7 x 7 x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة تدريب التاب جد ال من التامالت التالية : ج ج x ج ج حيث ج x x x x مثال التاب صفحة x ج قا جتا ج ج x قا x ظا ج حيث x x جتا : خصائص التامل أ ل( x أ ل( x حيث أ ثابت ج مثال x x ل( ع(( x ل( x ع( x جا( x x جا x مثال جتا ج ل( x ع(( x ل( x ع( x مثال جتا( x جتا جا ج x x ( مثال x ج 0

7 x x x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة تدريب التاب ج x x ( ج ج x جا( x x جا x جاx ( جتا( ج جتا ج ( صفحة مثال التاب ج ( x ( x : ( x x ( x : ج فر وناقش : x ( x ( ج ج صفحة تدريب التاب 9 ج x 9 ( x x ( x ج ج ج x ج x x ( (

8 7 x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر حيث x x ( ج صفحة حل أئلة الدر ( جد ال مما يأتي : أ( x ج ج x ب( x x ج ج x ( ج( ج x د( ج ج x x ه( ( جد ال مما ياتي : x قا أ( قا x ( ظا ج ( x ( ب( x ج x ( جاx جتاx x ج( ظا جتا جا جتا جتا ج د( حيث x ج x x ( x ј حيث ص xص x ( جد عندما

9 x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر x ( x x صx x ( صx x وان ق ( (إذا ان ق اقترانا قابال لالشتقاق وان ق ( فجد قاعدة االقتران ق ( ق ( x ق( ج ( ( ج ق ( ( ج وبالتالي قاعدة االقتران هي : ج ق( ع ( ( إذا ان x ع ( فجد نشتق الطرفين ( x x ع ( x( ( x x ( ( ع ( ع ( وان ق ( إذا ان ق اقترانا قابال لالشتقاق وان ق ( فجد قيمة ق ( x ( ق ( x ج ( ج ق ( ( ج ج وبالتالي قاعدة االقتران : ( ق ( ( ق( ( إذا ان ق اقترانا قابال لالشتقاق وان ق ( 7 وان ق ( فجد قيمة ق ( نامل الطرفين ( ق ( x ج x 9 ق(

10 x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج ( ( ق ( (9 ج ج ق( 9 9 ( ( ق ( (9 صفرا ( إذا ان ق اقترانا قابال لالشتقاق وان ق ( وان ق ( فجد قاعدة االقتران ق ( x ق ( x ج ق( 7 ج ( ( ج ق ( ( ج بعد توحيد المقامات 7 ق( إذا ان ل اقترانا قابال لالشتقاق وان ل ( فجد قيمة 9 ل ( ل ( ( ل ( x x ( 9 ج ج ج ج ج ( ( ( ج ( ( ( ل( ل ( ل ( ل ( ج 7 ج ج ل ( ل ( 7

11 x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( ؤال إضافي : ق( إذا ان x فجد ق ( نشتق الطرفين ( ق ( ق ( x ؤال إضافي : جتا x جتا x جا ج x ق ( ( ؤال إضافي : ق( ( فجد نشتق الطرفين ( ( ق ( ق ( ج x x ؤال إضافي : x قا x x قا ( ؤال إضافي : ظا ج ؤال إضافي : x إذا ان ق ( ق ( وان فجد الثابت x ق ( x ق( ج ج ق( ( ق ( عندما فإن ق ( ؤال وزاري 0 منهاج جديد إذا ان ق اقترانا متصال وان x ق ( فإن ق ( تاوي : ب( باشتقاق الطرفين ينتج : ق ( أ( ج( د( 0

12 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال وزاري 0 منهاج قديم إذا ان ق اقترانا متصال وان x ق( فإن ق ( تاوي : ب( ج( د( أ( نشتق الطرفين ق( حيث االشتقاق يلغي التامل ق ( اختبر نف (إذا ان ق( جا جتا( فجد ق ( (جد مايلي : (جد مايلي : ( (جد ما يلي : 7 ( (جد مايلي : قا (جد ما يلي : جا( ق ( فجد ق ( علما بأن ق ( 7( إذا ان ق اقترانا قابال لالشتقاق وانت ق ( فجد ق ( ( إذا ان 9( جد ال من التامالت التالية : قا ( جتا ( ( 00

13 ب x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( ( التامل المحدود التامل المحدود لالقتران ق على الفترة [أ ب [ هو : ق( x ع عب( عأ( حيث : الحد الفلي للتامل المحدود الحد العلوي للتامل المحدود أ : ب : حيث يرمز للمقدار العددي : عب( عأ( بالرمز ع( صفحة 7 ( ( ( صفحة 9 x مثال التاب جد مثال التاب جد قيمة التامل اآلتي : ( ( ( ( صفحة 9 x تدريب تاب ( x صفحة 0 x x 9 ( تدريب تاب إذا ان : فجد قيمة الثابت ب 9 ب 9 ب ( ب ب ب أ ب ب أ ب أ ب ب 0

14 x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 0 حل األئلة 7 ( احب قيمة ل مما يأتي : x ( (( x x ( 7 x أ( ب( ( ج( (7 ( ( (( (7 ( ( (( ( ( x ( ( ه( x ( ( (( ( ( فجد قيمة الثابت م ( (( ( ( x م ( م ( إذا ان م م م م ق ( [ إذا ان االقتران ق معرفا على الفترة [ وان فجد قيمة ق ( ق ( x ( ( ق ( x ( ق( ( ق ( ق ( ( ( ( احب قيمة التامل اآلتي : 0

15 x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( صفر ( (( ( ( (( ( ( احب قيمة ل من التامالت اآلتية : x أ( ( (( ( (( 9 ( x 9 ( ب( ( ( (9 ( ( ( (9 ( ( ( 9 9 x 7 ج( 7 x ( 7 (7 ( ( (7 ( ( ق ( x وان ق ( 7 فجد قيمة ق ( 7 ( ( ( إذا ان ق( ق ( ق ( ق ( 7( ق ( 7 7 ق ( ملاحظة هامة : مشتقة التامل المحدود تاوي صفر لأن التامل المحدود قيمة ثابتة أوجد مثال : إذا ان ص ( ص ص صفر لأن التامل المحدود قيمة ثابتة مشتقته صفر 0

16 x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي : ق ( ق ( فجد ق ( إذا علمت أن ق ( x ق( ق ( ق ( ؤال إضافي ج فجد قيمة x : إذا ان x ( ج( (( ج( ج ج ج ج ج ج ج ج ( ( ج ج ق( ج ج ج ج فجد ؤال إضافي :إذا علمت أن ق( x ق( x ق( x x ( ( ( ؤال إضافي : أوجد تامل : x ( x ( ( (( ( (( ق ( x ( : إذا ان ق ( ق ( فإن قيمة ( ؤال إضافي ق ( x ق ( ق ( ق ( ق ( ( ق(( x ( x فجد قيمة ق( : إذا ان : ؤال إضافي نضرب الطرفين ب x ق( x ق( 00

17 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ق(( x ق(( x x ( ( ( ؤال إضافي : إذا ان ق( متصال وان ق ( ق ( ثابت فجد قيمة x ق ( ق( ( ق ( ق ( اختبر نف ( جد ال من التامالت التالية : ب فما قيمة ب إذا ان ق ( فجد ق ( فما قيمة ج ( إذا ان ق ( ج ( إذا ان وان ق ( فجد قيمة [ ( إذا ان االقتران ق معرفا على الفترة [ ق ( ق ( 0

18 ع x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر خصائص التامل المحدود ( ل ق( x ل ق( x حيث ل ثابت ب ب أ ب أ ( ق( ع(( x ق( x ع( x أ أ أ ب ب ب ( ق( ع(( x ق( x ع( x صفحة 0 ب مثال التاب ب أ أ أ ه( x فجد قيمة ل مما يأتي : إذا ان ق( x ه( ق( ( ق( x ق( x ق( x x ق( x ه( x ه( ق( ( صفحة 0 تدريب التاب : ع( x إذا ان ل( x فجد قيمة ل مما يأتي ع( ل( ( x ل( x ( ع( x ع( ل( ( x ( ع( x ل( x x ولن ( (( 0

19 x x x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر خصائص أخرى للتامل المحدود ق( x صفرا مثال ق( x صفرا أ ب ق( x ق( x ق( x ق( x ق( x ق( x صفحة 0 مثال ق( أ أ أ تدريب التاب ب ب أ ج ب ج أ ق( x فجد قيمة ل مما يأتي : x ق( ق( x( إذا ان ق( x ق( نضرب الطرفين ب ق( x نضرب الطرفين ب ق( x صفحة 0 فجد قيمة التامل اآلتي : ق( x ق( x x ق( ق( x ( x ق( ق( x ق( x ق( x تدريب التاب إذا ان ق( ( ق( ق( x ق( x ق( x ق( x 0

20 x x ن x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 0 فجد قيمة الثابت ب مثال التاب إذا ان ( بما أن قيمة التامل المحدود تاوي صفر وقاعدة االقتران معلومة فإن : ( ب ب ب ب( (( ب ب بب ب ب ب ب صفحة 0 تدريب التاب ( إذا ان ق( x فجد قيمة الثابت م بما أن قيمة التامل المحدود تاوي صفرا وقاعدة االقتران غير معلومة فإن : الحد العلوي للتامل الحد الفلي للتامل فجد قيمة للثابت ن م 7 م أي م ن 0 م إذا ان ( ( ن ن ن( ن( ( (( نضرب الطرفين ب ن ن (ن ( ن ن أو ن E ن 07

21 x x x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 00 حل األئلة ق( x فجد قيمة ل مما يأتي : ق( x ق( x ق( x ( إذا ان أ( ق( x ق( x نقم الطرفين على نضرب الطرفين ب : ق( x ق( x ب( ق( x ق( x ق( x ج( ق( ( x ق( x x ه( ( ل( ( إذا ان أ( ه( x فجد قيمة ل مما يأتي : ه( x ه( ( ه( ه( x ( ه( x ه( x ب( ه( ل(( x ه( x ولن ل( x من الفرض x ل( x ( ( ( ( ( ( (( 9 (

22 م م م x x x x x م x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر (إذا ان x ق( فجد قيمة الثابت أ بما أن قيمة التامل المحدود تاوي صفرا وقاعدة االقتران غير معلومة فإن : أ أ 7 أ فجد قيمة الثابت م أ بما أن قيمة التامل المحدود تاوي صفرا وقاعدة االقتران معلومة فإن : ( ( x أ 0 أ أ 7 أ م( (( ( م م ( إذا ان ( ( م نقم على م ( م (م إما م أو م 9 فجد قيمة التامل اآلتي : 9 نقم الطرفين على 9 ق( x ق( x م إذا ان ق( 9 ق( ق( ق( x ق( x ( 9 ق( x 9 ق( x نعوض في التامل المطلوب حابه ق( x ق( ( 7 فجد قيمة الثابت ل ( (إذا ان ل( ( ( ( ل( ل ل (ل ( أي إما ل أ و ل ل ومن ل ل ل ل 0

23 x x x x x x x x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ق( x ق( x ق( x ؤال إضافي : إذا علمت أن فجد قيمة ق( x ق( x ق( x ق( x فجد ق( ولن ق( x ق( x نقم على أي ق( x ق( ق( x ق( x ( ( ق( x ؤال إضافي : إذا ان ق( ق( x ق( : ؤال إضافي ( أوجد قيمة التامل : حب خصائص التامل فإن مشتقة التامل المحدود تاوي صفر فجد قيمة 7 ( ؤال إضافي : إذا ان 7 ( 7 7 نقم الطرفين على 7 7 : إذا ان ق ( ق فجد قيمة ق ( ق ( ق ( ق ( ق ( ق ( ق( x ق( ؤال إضافي ق ( ؤال إضافي : إذا ان فجد ق( 7( ق( x 9 9 ق( 7

24 x x x 7 x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( ق( x ق( x ق( x نضرب الطرفين ب ق( ولن نعوض في ( ق ( x ( 9 : ؤال إضافي أوجد x x ( (( ق ق ( ؤال إضافي : إذا ان ثابت فجد قيمة ق ( ق ( 9 ق ( x ق( ؤال إضافي : ق( ق( x 9 إذا ان ق( x ق( فجد ق( x ق( x ( ( 9 ( 9 0 ( 0 ( ق( x ق( x ولن ق( x نقم الطرفين على ( : ؤال وزاري 0 منهاج جديد فإن ق( ياوي : ق( x إذا ان ق( x أ( ب( ج( د( x

25 x x x x x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر x ق( x ق( x ق( ق( x ؤال وزاري : 0 منهاج جديد ه( إذا ان ل( x فجد ه( x فجد ل( ه(( x ل( x ه( ولن ه ( x ه ( x تاوي : ل( x ( ه( x فإن ق( x : ؤال وزاري 0 إذا ان ق( x أ( ب( منهاج قديم ج( د( فإن ق( x فجد : ق( ؤال وزاري 0 إذا ان ق( ( : منهاج قديم x ق( x ق( ( ق( x ق( x ( ق( x 7 ق( x ق( x ق( x ق( x ؤال وزاري 0 : منهاج قديم ياوي : ب( قيمة ب( ج( صفر د(

26 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف فجد ق( ق( إذا ان ق( ( إذا ان ق( فجد ق( فجد قيم الثابت ج ( إذا ان ج فجد قيمة الثابت ب ب ( إذا ان فجد ق( 7( إذا ان ق( فإن قيمة ق( : تاوي ( إذا ان ق( أ( ب( ج( د( 0 0 فجد 9 إذا ان ق( ع( ق( ع( ( أ( ج إذا ان ب( فإن قيمة الثابت ج تاوي : ج( د( 0

27 ص x x x x ص x ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر التامل بالتعويض تتخدم هذه الطريقة عند وجود عملية ضرب داخل التامل يصعب تبيطها وهي تقوم على عملية التعويض أي تابة التامل بداللة متغير آخر وبشل يهل إجراء عملية التامل لها ونشرح ذل من خالل األمثلة صفحة 0 مثال التاب جد قيمة التامل اآلتي : : الخطوة األولى : بما أن ما خارج القو ياوي مشتقة ما داخل القو لذل نفرض ما داخل القو ص أي ص الخطوة الثانية : نشتق ص ما يلي : ص نوجد ما يلي ص الخطوة الثالثة نعوض في التامل ونختصرثم نجري عملية التامل : ج ص xص ص ص الخطوة الرابعة : نعيد تابة التامل بداللة : ج صفحة 09 تدريب التاب 7 ( ( جد قيمة التامل اآلتي : بما أن أحد القوين ياوي مشتقة القو اآلخر نفرض ص ص نعوض في التامل (ص 7 ( 7 ( (

28 ص x ص ص ص x x x x x ص ص صx x ص ص ص ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج ص ص ص 7 ج 7 ( ( صفحة 09 مثال التاب جد قيمة التامل التالي : ( بما أن ما داخل القو هو مشتقة ما تحت الجذر لذل نفرض ص ص ص ( ( ص ج ص xص ج ج ( جتا ( نفرض ص ص x نعوض جتاصxص جتا ( ص جتاص جاص ج جتا ( جا ( نفرض ص ص x ص ص ج ج xص xص

29 ص ص ص x x x ص ص x x x x ص ص ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج صفحة تدريب التاب (جد قيمة التامل اآلتية : نفرض ص ص x نعوض ص ج xص ص xص ج ( قا ص نفرض ص ص x نعوض قا ص ص قا قا ص xص ظاص ج ظا ج قا ( نفرض ص ص ص ص 0 ( ( ج xص xص ص( ج ج (

30 x x x x x x ص x x x x x ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( (( (( ( ( ص نفرض ص ص نعوض ج ج ص xص ( ج ( ( ( ( قواعد التامل : : ن إذا أ ب أ ثابتين فإن ن ن أ ب ج أ ن أ ب( x جتاأ ب( ج أ جاأ ب( x جاأ ب( ج أ جتا أ ب( x ج أ ب( قا ب( ظا أ أ ( : مثال : جد قيمة اآلتي ( ( ( : مثال : جد قيمة اآلتي جا ( ( مثال : جد قيمة اآلتي : جتا ( 7

31 x x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة مثال التاب 7 ( ( ( جد قيمة التامل اآلتي : ( صفحة تدريب التاب ( ( جد قيمة ل تامل مما يأتي : ( ( صفر ( ( ( جا x ( جتا ( ج جتا ( ج

32 x x x x x x x x x x x x ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة حل األئلة ( اتب التعويض المناب إليجاد قيمة ل تامل من التامالت اآلتية : أ( ( ص فيون نفرض ص ص x نعوض ص ј (ص ( ص ص ج نتب التامل بداللة ص ج ( ( ( ب( نفرض ص فيون ص x ص نعوض ص ص ( ج ص 7 ص ص ج ( 7 ( ج 7 ( 7 (قا ( ج نفرض ص فيون ص x (قا ص ص ( (قا ( قا ص ص ظاص ج ج ظا (قا ( ( 9 ( ( 9 د( 0

33 ص ص ص x x x ص x x ص x ص ص ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر نفرض ص فيون ص x ص 9 ج ص ص ج ج ( ( جد قيمة ل من التامالت اآلتية : ( ( أ( ج ( ج ( ( ( ب( بفرض ص ص x x نعوض ص ( ( ج ص ص ص ج ( ج ص ( قا ( ( ج( قا x x ( ج ج ظا ظا جا د( نفرض أن ص ص x نعوض

34 x ص x x x x x x x x ص x صј أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ص جاص ( جتاص ج جا جاص ص ج جتا ( احب قيمة ل من التامالت اآلتية : ( ج ( ( ق( x صفر ج ( ( ( صفر ( أ( 7 ب( وذل حب الخاصية ويمن التأد من ذل بحل الؤال على التامل بالتعويض أ أ نفرض ص ص فيون x نعوض ج ص ص ص صفر (( (( ج(

35 x x x x ص x x x x x x x ص ص ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر نفرض ص ص ص نعوض ص (( (( ص ص ص ص ج ( ( x د( فيون نفرض ص ص ( ص ( ј ج ص ج ص ص ص ( ( ( ( 0 صفر : ق 7 ( (إذا علمت أن ق ( فجد قيمة التامل اآلتي ق ص نفرض ص ص x ق ( ق ص( ق ق ق ص( ص قص( ج ق ق ( ق ( ق 7 ( ق

36 x x x x x x ص ص x ص x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر : ق (إذا علمت أن ق( x فجد قيمة التامل اآلتي نفرض أن ص ص ص ص ق ص( xص ق ق x قص( لن عندما نعوض في ص فيون ص وعندما فإن ص 9 ق ص( xص ق قص( ص (جد قيمة التامل اآلتي : نفرض 9 فيون ص نعوض ص 9 9 (( 9 ج (( ص ج 9 ص 9 xص 9 ص 9 7 : ؤال وزاري 0 منهاج جديد جا ( ياوي : ج ب( جتا ( ج جتا ( أ( د( ج جتا ( ج( جتا ( ج : ؤال وزاري 0 منهاج جديد قا جد التامل الآتي : 0

37 x صј x x x x x x x ص ص x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج ظا لو ه : ؤال وزاري 0 منهاج قديم جا 7 جد قيمة التامل اآلتي : نفرض ص 7 فيون ص x جاص ص جا 7 xص جاص جتاص ج ج جتا 7( جا 7 7 ؤال إضافي جا نفرض ص 7 فيون ص x جاص ص 7 جا xص جاص جتاص ج 7 ج جتا 7 جا ؤال إضافي : ( نفرض ص ص x ص ( ص ص ص ج xص ج ج

38 ص ص x x x ص ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( x ( ( ؤال إضافي : ( x نفرض ص ص x ص ( ( x ( ( ج ج ص xص ج ( ؤال إضافي : جتا ص نفرض ص فيون ص x ص جتا ص جتا صx جتا ص قا ص xص ظاص ج ( ج ظا جتا

39 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف ( اتب التعويض المناب إليجاد قيمة ل تامل من التامالت اآلتية : أ( ( ب( جا ق ق ( ج( فاحب قيمة ( إذا علمت أن ق ( ( احب قيمة ل من التامالت التالية : ( أ( ب( ج( (

40 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الفصل الثاني تطبيقات التامل تطبيقات هندية بما ان التامل عملية عية للتفاضل فإنه يمننا إيجاد قاعدة االقتران ق بمعرفة ميله ق ( عند أي نقطة على منحناه ص( وإحداثيي إحدى النقط على منحناه صفحة مثال التاب جد قاعدة االقتران ق علما بأن ميل المما لمنحناه عند النقطة ص(يعطى بالقاعدة: وأن منحناه يمر بالنقطة ق ( خطوات الخطوة الأولى : نقوم بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين : ( x ينتج : ( ق ( x ج ق( الخطوة الثانية : نقوم بإيجاد قيمة ج وذل بتعويض النقطة في االقتران أي وذل ألن منحنى االقتران ق يمر بالنقطة أن ق ( ج ق ( ( ( ج ج الخطوة الثالثة : نعوض قيمة ج في قاعدة االقتران ق فيون قاعدة االقتران ق( صفحة تدريب التاب جد قاعدة االقتران ق علما بأن منحناه يمر بالنقطة وأن ميل المما لمنحنى االقتران ص ق( عند : ق ( النقطة ص(يعطى بالقاعدة : بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين ينتج ق ( ( x ( ق ( x 7

41 ص x x x ص ص ص x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر لن منحنى االقتران ق يمر بالنقطة أي إن ق ( ج ق( ( ج ق ( ( ق( ج قاعدة االقتران : ج صفحة مثال التاب جد قاعدة االقتران ص ق( علما بأن ميل المما لمنحناه عند النقطة ص(يعطى ( 9 ص وأن النقطة تقع على منحنى االقتران ص بالقاعدة : ميل المما لمنحنى العالقة ص عند النقطة ص( ص 9 ص نضرب الطرفين ب x 9 ص 9 نجري التامل بطريقة التعويض ص نفرض ص x ص نعوض ص 9 ص ج ج ص ص ص ص ج 9 ص لن من الفرض ص عندما 9 ج ص (( 9 ج

42 x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج ج 9 قاعدة االقتران هي : ص صفحة 0 تدريب التاب ص( : جد قيمة ق ( علما بأن ميل المما لمنحنى االقتران ص ق( عند النقطة يعطى بالقاعدة وأن منحناه يمر بالنقطة ( ق ( بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين ينتج : ق ( ( x ق ( ج ج ( ج ( ( ق( ق ( ولن المنحنى يمر بالنقطة أي أن ج ( ج ق ( قاعدة االقتران : ( ق( 7 ( ( ق ( 7 0

43 ص x x x ص ص x x ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة حل األئلة ص( (إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ص ق( عند النقطة ياوي فجد قاعدة االقتران ق ق ( علما بأن 9 ( بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين ينتج : 9 ق ( 9 ( ق ( x وبما أن ق ( ج ج 9 9 ( ق( ( ( ق ( ج قاعدة االقتران : 9 ق( ص( ( جد قاعدة االقتران ق إذا ان ميل المما للمنحنى ص ق( عند النقطة يعطى بالقاعدة : ق ( وان منحنى االقتران ق يمر بالنقطة ق ( بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين ينتج : نفرض ص ص ق ( x ق( x نعوض ج ص ق( ص ج ولن ق ( ق( ј ج (( ق (

44 x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج ج قاعدة االقتران هي : ق( ( ( جد قيمة ق ( علما بأن ميل المما للمنحنى ص ق( عند النقطة ص( ياوي 7 وأن منحنى االقتران ق يمر بالنقطة ( : ( ق ( x بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين ينتج ج ( ج ( ( ق( ج 7 ق ( ( ق ( ج ج 7 قاعدة االقتران هي : ق( ( 97 9( ق ( ق ( ( (إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ل عند النقطة ص( يعطى بالقاعدة : ( ( فجد قاعدة االقتران ل علما بأن منحناه يمر بالنقطة ل ( : ( بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين ينتج ل ( ( x ل ( x ( ج ولن ل ( ل( ج ( ل ( ( : ل( ج قاعدة االقتران هي (إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ه يعطى بالقاعدة ه ( فجد ه ( علما بأن منحنى االقتران ه يمر بالنقطة (

45 x x x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر : ه ( بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين ينتج x ه ( x ( ( ه ( ج ( ج ه ( ( ه ( ج ج قاعدة االقتران هي : ه( 7 ( ه ( ( : ؤال وزاري 0 منهاج جديد : إذا ان ميل المما لمنحنى الاقتران ص ق( عند النقطة ص(ياوي فجد قاعدة الاقتران ق علما بأن منحناه يمر بالنقطة ( ق ( نامل الطرفين ( ق ( x نعوض ولن ق ( ج ق( ( ج ق ( ( ج ج ج ق( : ؤال وزاري 0 منهاج قديم ص( إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ق( عند النقطة ياوي ( فجد قاعدة االقتران ق علما أن منحناه يمر بالنقطة ( : ( ق ( بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين ينتج ( ق ( x ( ( x

46 x x أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج ق( ق ( ولن المنحنى يمر بالنقطة أي أن ( ج ق ( ( ج ج قاعدة الاقتران ق( ؤال إضافي : ( ص إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ق( عند النقطة هو ( فجد قاعدة االقتران علما ق بأن ق ( بإجراء عملية التامل للطرفين بداللة المتغير يون : ق ( ( ق ( x ( x ج ق( ( ج ( ق ( ج ج قاعدة االقتران هي : ق( ؤال إضافي : ( إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ق( ص ( فجد قاعدة االقتران بالنقطة ( عند النقطة هو وان منحنى االقتران يمر بإجراء عملية التامل للطرفين بداللة المتغير يون : ق ( ( ( x ق ( ج ولن ق ق( ج ( ق 0

47 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج ج قاعدة االقتران هي : ق( اختبر نف إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ق عند النقطة ص( ياوي ( فاتب قاعدة االقتران ق علما بأنه يمر بالنقطة إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ق( عند النقطة ص( ياوي ( ( فجد قاعدة االقتران ق علما بأن منحنى االقتران ق يمر بالنقطة ( ( إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ق( عند النقطة ص( ياوي ( فجد قاعدة االقتران ق علما بأن منحنى االقتران يمر بالنقطة ( ق

48 ن ن ن ن ن نx ن ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر تطبيقات فيزيائية ع ف إذا انت عن( ف ن( وأن التارع هو تن( ع ن( ن فإنه يمننا معرفة المافة بمعرفة مقدار الرعة أو الرعة والتارع ويمن أيضا معرفة الرعة بمعرفة مقدار التارع صفحة 9 مثال التاب يتحر جيم على خط متقيم بحيث انطلق من الموقع االبتدائي ف م إذا انت رعته بعد مرور بالعالقة عن( ن ن م /ث فجد موقعه بعد مرور ثالث ثوان من بدء الحرة ن ثانية تعطى ف ن ولن عن( ن ن عن( ن ن ف ن ن ن ( ف ج ولن ف ( ف ن ف ( ج ( ( ج فن( ن ف 7 ( ( ( 7 موقع الجيم بعد مرور ثالث ثوان من بدء الحرة م صفحة 9 تدريب تاب حيث ن : (يتحر جيم على خط متقيم وتعطى رعته بالعالقة : عن( ( ( م /ث الزمن بالثواني جد موقع الجيم بعد ثانيتين من بدء الحرة علما بأن موقعه االبتدائي ف ( م الحل ( ولن عن( عن( ن ف ن ف ن نx ( ف

49 نx أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ن ج ولن ف ( ف ن م ( ج ف ( ( ج ن فن( ن ( ف ( ( موقع الجيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحرة م (يتحر جيم على خط متقيم بحيث إن رعته بعد مرورن( ثانية من بدء الحرة تعطى بالعالقة : عن( ( ن( م /ث جد موقعه بعد مرور ثانية واحدة من بدء الحرة علما بأن موقعه االبتدائي ف ( م ن ن ن ن ( عن( ( ن( ولن عن( ف ن ن ن ف ن ن ن ( ј ف ج ن ن ن ولن ف ( فن( ج ( ( ( ف ( ج ن ن ن فن( 7 م ( ( ( ف ( 7 موقع الجيم بعد مرور ثانية واحدة من بدء الحرة م صفحة 9 مثال التاب تتحر نقطة مادية على خط متقيم بحيث إن تارعه بعد مرور ن ثانية من انطالقها يعطى بالعالقة : تن( ن (م /ث إذا علمت أن موقعها االبتدائي وان رعتها االبتدائية ع : م /ث فجد ف ( م ( رعة النقطة المادية بعد مرور ثانيتين من انطالقها

50 ن ن ن ن ن ن ن ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( موقع النقطة المادية بعد مرور ثالث ثوان من انطالقها ع ن تن( ن ن ع ن ن ع ن ج ع ن ( ج ج ع ( : ( ن عن( ن ( م /ث ع ( ( أي أن رعة النقطة المادية بعد مرور ثانيتين من انطالقها هي (عن( ف ن م /ث ن ن ( ف ن ج ولن ف ( ف ن ( ج ( ( ف ( ج ن فن( ن ف م 9 7 ( ( ( أي أن موقع النقطة المادية بعد مرور ثالث ثوان من انطالقها هي م /ث صفحة 9 تدريب التاب م /ث إذا انت رعته االبتدائية يتحر جيم على خط متقيم وبتارع ثابت مقداره تن( ع ( م /ث وموقعه االبتدائي ف ( م فجد : رعة الجيم بعد مرور أربع ثوان من بدء الحرة موقع الجيم بعد مرور ثالث ثوان من بدء الحرة 7

51 ن ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ع ن تن( ع ع ع ( ن ج ولن ع ( ج ع ( ج عن( ن م /ث ( ع ( أي أن رعة النقطة المادية بعد مرور ثانيتين من انطالقها هي م /ث (عن( ن ن ف ن ( ن ف ن ج ولن ف ( ن ف ( ج ( ف ( ج ن ن فن( م ( ( ف ( أي أن موقع النقطة المادية بعد مرور ثالث ثوان من انطالقها هي م /ث 0

52 ن م ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 9 حل األئلة ( يتحر جيم على خط متقيم بحيث أن رعته بعد مرور ن ثانية من بدء حرته تعطى بالعالقة : (( م /ث جتا ن جد القاعدة التي تمثل موقع الجيم بعد مرور ن ثانية من بدء الحرة عن( عن( جتا ن ف جتا ن ن ف جتا ن جا ن ج جا ن ج فن( ( تتحر نقطة مادية على خط متقيم بحيث أن رعتها بعد مرور ن ثانية من بدء حرتها تعطى بالعالقة : ( م /ث جد موقع النقطة المادية بعد مرور أربع ثوان من بدء حرتها علما بان عن( ن موقعها االبتدائي ف ( عن( ن ف ن ن ن ف ن ج ولن ف ( ف ن ( ج ( ف ( ج ج ف ( م ( ( فن( ن (إذا ان تارع جيم يير على خط متقيم بعد مرور ن ثانية من بدء الحرة يعطى بالعالقة : م م /ث وان موقعه االبتدائي ف ( ن( ( تن( ورعته االبتدائية ع ( م /ث فجد : 00

53 ن ن ن ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر (رعة الجيم بعد مرور ثانية واحدة من بدء الحرة (موقع الجيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحرة تن( ( ن( ( ن( ع ن ن( ( ع ع ( ن( ( ج ج ولن ( ع ج ( ( ع ( ج ج ن( ( عن( ( ع ( م /ث ن( ( (عن( ن( ( ف ن ن( (( ف ولن ف ( ج ( ن( ج ( ف ج ( ( ف ( 7 ج ج 7 ( ن( فن( م ( ( ف ( (يتحر جيم على خط متقيم بحيث إن رعته بعد مرور ن ثانية من بدء الحرة تعطى بالقاعدة : عن( ( ( ن (م /ث جد : 0

54 ف ن م 7 ن ن ن ن ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر أ( القاعدة التي تمثل موقع الجيم بعد مرور ن ثانية من بدء الحرة ب(موقع الجيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحرة علما بأن موقعه االبتدائي ف ( ن ن أ(عن( ( ( ن ( ن ن ف ن ن ن ن ن ف ن ج 7 ج ( ج ( ( 7 7 ب(عندما ف ( فإن 7 ن ن قاعدة االقتران هي : ف ن( 7 ( ( ( ف ( م 7 ف ( : ؤال وزاري 0 منهاج جديد يتحر جيم على خط متقيم بحيث أن رعته بعد مرور ن ثانية من بدء الحرة تعطى بالعالقة : جد المافة التي يقطعها الجيم بعد مرور ( ثوان من بدء الحرة ( م /ث عن( ن علما بأن موقعه االبتدائي ف ( م ف ن ف ن عن( ن ( ولن عن( ن ف ن ن بإجراء التامل للطرفين ف ن ن ج ولن ف ( ف ن ج ( ف ( ( ج ج نعوض 0

55 ن ن ن ن ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر عندما ن فإن ن فن( ن 7 م ( ف ( ( : ؤال وزاري 0 منهاج قديم تتحر نقطة مادية في خط متقيم بتارع ثابت ت مقداره تن( ثانيتين من بدء الحرة علما بأن رعتها الابتدائية ع ( م /ث جد رعتها بعد مرور م /ث تن( ع ن ع نامل الطرفين ع ن ج ع ولن ع ( ( ج ع ( ج ( ع ( م /ث عن( ن ؤال إضافي : يتحر جيم على خط متقيم بحيث ان رعته بعد ن( ثانية تعطى بالعالقة : ( ن عن( ن جد المافة التي يقطعها الجيم بعد مرور ثواني علما بأن موقعه االبتدائي ف ( م عن( ن ( ف ف ن ن ن( ج ولن ف ( ن ف ن ج ج ( ف ( ( ن قاعدة االقتران هي : ف ن( ن 9 م ( ف ( ( 0

56 ن ن ن ن ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي : إذا ان تارع جيم ت بعد مرور ن من الثواني يعطى بالعالقة تن( م /ث جد الرعة التي يقطعهاالجيم بعد مرور ن ثانية من بدء الحرة علما بأن الرعة االبتدائية للجيم م /ث ع ( تن( ع ع ن ج ( ج ع ( ن ج ولن ع ( ع قاعدة االقتران : ؤال إضافي عن( ن الرعة بعد مرور ن ثانية جد المافة التي يقطعها الجيم إذا ان تارع جيم بعد مرور ن( من الثواني يعطى بالعالقة تن( ن م /ث بعد مرور ن( ثانية من بدء الحرة علما بأن الرعة االبتدائية للجيم ع ( م /ث وموقعه االبتدائي ف ( م تن( ن ع ن ع ن ج ع ن ج ج ع ( ( ولن ع ( قاعدة االقتران : ع ن( ن ( ف ف ن ن ج ولن ف ( ف ن ج ( ج ف ( ( ن قاعدة االقتران : فن( ن 00

57 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف (يتحر جيم في خط متقيم بحيث تون رعته ع معطاة بالعالقة : عن( ن (م /ث جد المافة التي يقطعها الجيم بعد مرور ( ثواني من بدء الحرة علما بأن الموقع االبتدائي للجيم ف ( م (يتحر جيم على خط متقيم بحيث أن رعته بعد ن( ثانية تعطى بالعالقة : جد المافة التي يقطعها الجيم بعد مرور ( ثواني علما بأن موقعه االبتدائي ن عن( ن م ف ( (يتحر جيم على خط متقيم بتارع ثابت مقداره تن( م /ث جد رعة الجيم بعد مرور ثانية واحدة من بدء الحرة علما بأن الرعة االبتدائية للجيم هي ع 7 م /ث (يتحر جيم في خط متقيم بتارع ثابت مقداره تن( م /ث جد المافة التي يقطعها الجيم بعد مرور ن ثانية من بدء الحرة علما بأن الرعة االبتدائية للجيم ع م /ث وموضعه االبتدائي م ف ( (يتحر جيم على خط متقيم بحيث أن رعته بعد ن( ثانية تعطى بالعالقة عن( م /ث ن ( جد المافة التي يقطعها الجيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحرة علما أن موقعه االبتدائي ف ( م 0

58 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الماحة. تقتصر دراتنا في البحث على حاب ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى اقتران معين ومحور الينات ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات ونميز أربع حاالت : ب الماحة ق( أ على الفترة ] أ ب [ تعطى بالقاعدة : الحالة األولى مثال التاب : عندما تون المنطقة المغلقة فوق محور الينات ( ق( الماحة المطلوبة ق( في الفترة ] أ ب [ ق( أ صفحة 9 ب ب أ خطوات الحل: : جد ماحة المنطقة المغلقة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات والمتقيمين الخطوة األولى : نجعل ق( صفر ونوجد نقاط تقاطع ق مع محور الينات إن وجدت( 0 7 نالحظ أن هذه القيمة ال تقع ضمن الفترة المطلوبة الخطوة الثانية : نوجد التامل التالي : ( قيمة التامل الموجبة تدل على أن المنحنى فوق محور الينات ( ( ] أ ب [ الخطوة الثالثة : نوجد الماحة م ق( 7 وحدة مربعة الحالة الثانية : عندما تون المنطقة المغلقة تحت محور الينات ( ق( في الفترة مثال التاب الماحة المطلوبة ق( ق( صفحة 9 ب أ ب أ جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ق( 0

59 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ومحور الينات والمتقيمين : 0 صفر الخطوة األولى : ق( صفر نقم على وهي قيم التي يتقاطع منحنى االقتران ق عندها مع محور الينات نالحظ أن هذه القيم ال تقع ضمن الفترة المطلوبة 7 الخطوة الثانية : ( ( (( ( ( الخطوة الثالثة : نالحظ أن قيمة التامل الب مما يدل على أن المنطقة المغلقة تحت محور الينات لذل عندما نحب الماحة نضع التامل داخل القيمة المطلقة : م ق( ق( 7 وحدة مربعة الحالة الثالثة : جزء من المنطقة المغلقة تحت محور الينات ( ق( ( في الفترة [أ ج [ والجزء اآلخر فوق محور الينات ( ق( في الفترة [ج ب [ فإن : ق( ق( الماحة المطلوبة الماحة م الماحة م ج أ ب الماحة المطلوبة ق( ق( ج ج أ ب ج صفحة 9 مثال التاب جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ق( [ ومحور الينات على الفترة [ الحل ق( صفر 0 وهي قيم التي يتقاطع منحنى االقتران ق عندها مع محور الينات نالحظ أن ال تقع ضمن الفترة [ [ [ ] في حين أن تقع ضمن الفترة 0

60 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر لذل يجب أوال أن نوجد التامل المحدود لالقتران ق على الفترة [ [ نوجد التامل على الفترة [ [ ثم ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 ( ( الماحة المطلوبة ق( ق( ق( وحدة مربعة الحالة الرابعة : جزء من المنطقة المغلقة فوق محور الينات ( ق( ( في الفترة [أ ج [ والجزء اآلخر تحت محور الينات ( ق( في الفترة [ج ب [ فإن : ق( ق( الماحة المطلوبة الماحة م الماحة م ج الماحة المطلوبة ق( ق( أ ب ج ج أ ب ج صفحة 9 تدريب التاب جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ق( ومحور الينات على الفترة [ [ ق( ق( صفر [ ] نالحظ أن تقع ضمن الفترة 0 لذل نوجد التامل على الفترة [ [ ثم نوجدها على الفترة [ [ ( ( 9 ( (( ( (( 07

61 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( ( (( ( (( ( 9 الماحة المطلوبة ق( ق( ق( وحدة مربعة صفحة 90 مثال التاب جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ق( ق( صفر ( إما أو وهي نقاط تقاطع منحنى االقتران مع محور الينات ومحور الينات [ وتون الماحة المطلوبة محصورة بين منحنى االقتران ومحور الينات على الفترة [ ( ( ( ( ( ( 9 9 ( ( 7 9 الماحة المطلوبة ق( تدريب التاب وحدة مربعة صفحة 9 جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ق( ومحور الينات على الفترة المحددة في ل مما يأتي : [ ] (ق( على الفترة على الفترة ] [ (ق( 0 [ ق( ق( نالحظ أن ال تقع ضمن الفترة [ ( (

62 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( (( ( (( الماحة المطلوبة ق( وحدة مربعة (ق( ق( صفر إما أو وهي نقاط تقاطع المنحنى مع محور الينات التقع ضمن الفترة [ ] نالحظ أن ( ( ( (( ( (( وحدة مربعة صفحة 9 ق( تدريب التاب جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ق( ومحور الينات ق( صفر ( إما أو هذه نقاط تقاطع منحنى االقتران مع محور الينات وتون الماحة المطلوبة محصورة بين منحنى االقتران ومحور الينات على الفترة [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ق( الماحة المطلوبة وحدة مربعة 0

63 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 99 تدريب التاب يمثل الشل منحنى االقتران ص ق( فإذا انت الماحة م وحدات مربعة والماحة م وحدات مربعة فجد قيمة ل مما يأتي ب ق( ق( لأن أ ج لان ق( ق( ب ج ب ج ق( ق( ق( ب أ أ وحدة مربعة م م م حاب الماحة أو التامل اعتمادا على الرم : في بعض المائل يعطى رم للمنطقة المغلقة ويطلب حاب الماحة ضمن فترة معينة وهنا يجب أن ننتبه إذا ان الطلب حاب الماحة فإن الماحة ال يمن أن تون البة لذل نأخذ القيمة المطلقة للماحة : مثال أما إذا ان الطلب حاب التامل فإن التامل يمن أن يون البا أو موجبا حب وضعه بالنبة لمحور الينات فإن ان فوق محور الينات فهو موجب وإن ان تحت محور الينات فهو الب أ ب ب ج ب أ يمثل الشل المجاور المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ومحور الينات في الفترة ] أ ب [ ماحة م ( تاوي وحدات مربعة ق( ق( فجد ماحة م ( أ م 0 ج أ ب ب ج ب م ق( ق( ق( فإذا علمت أن ق( ج ج ب ج ј ق( نلا حظ ان التامل الب لأن المنطقة المغلقة تحت محور الينات الماحة م ق( ق( وحدة مربعة

64 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة ق( حل األئلة (جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ومحور الينات والمتقيمين المحددين في ل مما ياتي : أ(ق( [ نالحظ أن منحنى االقتران ال يتقاطع مع محور الينات لذل نوجد التامل المحدد في الفترة [ ( ( الماحة المطلوبة ق( وحدة مربعة ب(ق( ق( صفر 0 نالحظ ان ال تقع ضمن الفترة [ [ ( ( ( (( ( (( الماحة المطلوبة ق( وحدة مربعة ج(ق( ق( صفر 0 0 ( ( ( نالحظ أن ال تقع ضمن الفترة ] [ نجري التامل المحدد لالقتران في الفترة [ [ ( (( الماحة المطلوبة ق( وحدة مربعة (

65 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر (جد ماحة المنطقة المغلقة بين منحنى االقتران ص ق( ومحور الينات على الفترة المحددة في ل مما يأتي [ على الفترة [ أ(ق( ق( صفر 0 0 نالحظ أن ال تقع ضمن الفترة [ ] تقع ضمن الفترة ] [ وأن لذل نجري التامل المحدد لالقتران في الفترة ] ثم نجري التامل في الفترة [ ] ] ( (( ( (( ( (( ( (( ( ( ( الماحة المطلوبة ق( ق( ق( وحدة مربعة [ ] ب(ق( على الفترة 0 0 ق( صفر [ ] نالحظ أن تقع ضمن الفترة [ ] ثم نجري التامل في الفترة ] ( لذل نجري التامل في الفترة [ (

66 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( ( الماحة المطلوبة ق( ق( ق( وحدة مربعة [ ] ج(ق( على الفترة ق( صفر 0 [ ] أي ان نالحظ أن ال تقع ضمن الفترة [ ] وان تقع ضمن الفترة ( ( لذل نجري تامل االقتران في الفترة ] ] ثم نجري التامل في الفترة ] [ (( ( (( 7 9 (( ( (( ( ق( ق( ق( ( 9 وحدة مربعة ( الماحة المطلوبة [ ] د(ق( على الفترة ق( صفر أي ال توجد نقاط تقاطع مع محور الينات [ نجري تامل االقتران خالل الفترة ] ( ( (( ( ( ( ( 0

67 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر وحدة مربعه الماحة المطلوبة ق( ق( (جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ق( ومحور الينات في ل مما يأتي : أ( ق( ( ق( صفر نوجد تامل االقتران على الفترة ( ( ( ( ( ( ( ( الماحة المطلوبة ق( وحدة مربعة ب(ق( ق( ( أو نوجد تامل االقتران على الفترة (( ( (( ( 7 الماحة المطلوبة ق( ق( 7 وحدة مربعه (يمثل الشل م ىنح ن االقتران ص ق( فإذا انت الماحة م فجد قيمة ق( مبرر إجابت وحدة مربعة والماحة م وحدة مربعة ق( ق( ق(

68 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ولن ق( وذل لان ق( صفر لان ق( صفر ق( ق( (يمثل الشل نافذة على شل متطيل طول قاعدته م وارتفاعه م يعلوه منحنى يعطى بالقاعدة : ص ق( إذا أردنا وضع زجاج على النافذة وانت تلفة المتر المربع الواحد منه خمة دنانير فما التلفة اللية لزجاج النافذة : ( (( ( التلفة اللية الماحة الماحة ( ( (( التلفة اللية دينار : ؤال وزاري 0 منهاج جديد معتمدا الشل المجاور الذي يمثل منحنى االقتران : ص ق( ب إذا علمت أن ق( ق( ب فجد ق( أ ج ج ب( أ ب ج( د( ق( ق( ق( ج ب ج أ أ ج ص أ ب : ؤال وزاري 0 منهاج جديد جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ق( ومحور الينات

69 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( ( ( ( ( ( م ق( ق( ( ( م ( ( ؤال وزاري : 0 إذا ان ق( ب( ج( د( فما قيمة ق( أ ق( ق( ق( ق( : ب ؤال إضافي ج ب ج جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات ج ج ب ج ب ج ب ص أ [ نجري تامل االقتران ق( خالل الفترة ] ( ( ( ( ق( ( ( الماحة المطلوبة وحدة مربعة ( ( : ؤال إضافي [ ] جد ماحة المنطقة المحصورة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات في الفترة ق( [ ] نالحظ أن تقع ضمن الفترة [ ] [ نجري التامل في الفترة [ ثم نجري التامل في الفترة ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 9 (

70 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 الماحة المطلوبة ق( ق( ق( 9 وحدة مربعة ؤال إضافي : جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات ق( صفر ( ( ( ( نوجد تامل االقتران ق في الفترة [ [ الماحة المطلوبة ق( وحدة مربعة ( : ( ؤال إضافي احب ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات [ في الفترة ] ق( صفر [ ] ال تقع ضمن الفترة [ نوجد التامل في الفترة ] ( ( ( ( ( ( ( ( 7 7

71 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الماحة المطلوبة ؤال إضافي ق( وحدة مربعة : معتمدا الشل المجاور والذي يمثل منحنى االقتران ق المعرف في الفترة ] أ ب] إذا علمت أن ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ق ومحور الينات تاوي ( وحدة مربعة وان ق( ب ج أ فما قيمة ج ق( ق( ق( ب أ ج أ ج ب ب ج أ م ق( ق( ب ق( ج ج ب ؤال إضافي : [ اعتمادا على الشل المجاور الذي يمثل المنطقة المحصورة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات في الفترة [ علمت إذا أن ماحة المنطقة م تاوي ( وحدة مربعة وان ق( ق( م ق( ق( ق( ق( فجد ماحة م ق( ص 0 0 م م 0

72 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف (جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات والمتقيمين : (احب ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين محنى االقتران ق( ومحور الينات (جد ماحة المنطقة المحصورة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات في الفترة ] [ فإن ب أ (يبين الشل المجاور المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ق( ومحور الينات في الفترة [أ ب] إذا علمت أن م 9 وحدات مربعة م وحدات مربعة ق( ب م ق( م 0 أ (باالعتماد على الشل اآلتي الذي يمثل منحنى ق( إذا انت الماحة م فإن م والماحة ب أ ق( ق( م 0 ج ب أ م 0

73 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الفصل الثالث االقترانان اللوغاريتمي الطبيعي واألي الطبيعي وتطبيقاتهما االقتران اللوغاريتمي الطبيعي : يرمز له بالرمز : ( لو ه مشتقة االقتران اللوغاريتمي الطبيعي : ق ( إذا ان ق( لو ه فإن ق ( وإذا ان ق( لو م( ه فإن م ( حيث م( اقتران قابل لالشتقاق م( صفحة مثال التاب جد ص عند النقطة المحددة في ل مما يأتي : (ص لو ه < عندما (ص لو ه عندما (ص لو ص ص ص (ص لو ه ه 7 ( ص

74 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة تدريب التاب ق ( جد في ل مما ياتي : (ق( لو جتا ه (ق( لو ه > < (ق( لو ق( لو جتا ه ه ظا جا جتا ق ( (ق( لو ه ق ( (ق( لو ق ( ه صفحة تدريب التاب إذا ان ق( لو أ ه حيث أ ثابت وان ق ( فجد قيمة الثابت أ ق ( أ أ ولن ق ( أ أ أ أ أ أ نظرية هامة : ج لو ه

75 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة مثال التاب جد قيمة ل تامل مما يأتي : 7 7 ج لو ه لو ( ج ه ( ( 7 7 صفحة تدريب التاب جد قيمة ل تامل مما يأتي : ( ( لو ( ج ( ( ه ه ج لو ويمن حله بالتامل بالتعويض االقتران األي الطبيعي : االقتران األي الطبيعي يرمز له بالرمز : ص ه حيث ه العدد النيبيري حيث ص ه تافي لوص ه المشتقة األولى لالقتران األي الطبيعي :.7 إذا ان ق( ه فإن ق ( ه حيث ه العدد النيبيري وياوي تقريبا إذا ان ل( ق( ه فإن ق ( ل ( ه ل( ل( حيث اقتران قابل لالشتقاق

76 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة مثال التاب : ق ( جد في ل مما يأتي لو ( ق( ه جا (ق( ه (ق( ه ه ( ق( ه ق ( ه ( ق ( ه ( ق ( جتا ق ( جا ه ه ه ه ه تدريب التاب صفحة 0 7 ص جد في ل مما يأتي : جتا (ص ه (ص ه (ص ه (ص ه (لو ه (ص ه جتا (ص جا ه لو (ص ه ه ه ه ه ص نظرية هامة في تامل االقتران األي : ( ه ه ج حيث ه العدد النيبيري أ أب أ ب ه أ ه أ ب حيث عددان حقيقيان 0

77 ص ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 0 التاب مثال جد قيمة ل من التامالت اآلتية : ه ه لو ه ج ج ه ج ه ه (ه 7 نفرض ص 7 ص ( ص نعوض w ه w ه 7 (ه ( ص ( ه ج 7 ج ص ه صفحة تدريب التاب 9 جد قيمة ل من التامالت اآلتية : ه ج ه ه ج ه ج ه ه ه (ј ج حب النظرية ل( ق ( ل (ه أو نوجد الحل باتخدام التامل بالتعويض نفرض ص ص ص نعوض ( ( ه ص ص ه ه ص ( ج ص ه ج ه ه ه ه ج ج ه

78 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 9 حل األئلة ق ( (جد في ل مما يأتي : < أ(ق( لو 7 ه ق ( ه ه ب(ق( ه لو ه ه ق ( ه جا ج(ق( ه لوجتا( جا ق ( جتا ه جا جتا ه ظا ه (جد قيمة ل من التامالت اآلتية : جا جتا ( أ( ه ه لو ج ه ج ه ج ه ب( ه ج ج( ه ه حب النظرية ل( ق ( ل (ه أو يمن إيجاد التامل بالتعويض نفرض ص فيون ص ص نعوض ص ه ص ص ه ه ص ص ه ح ج ه ه د( ( ه لو ه ه ج لو ه ه ج

79 ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج لو ه ه( أو نحله بالتامل بالتعويض : (إذا ان ميل المما لالقتران ص ق( ص عند النقطة يعطى بالقاعدة ( ه فجد قاعدة االقتران ق علما بأن منحناه يمر بالنقطة ق ( الحل: : ه بإجراء التامل بالنبة إلى المتغير لل من الطرفين ينتج ق ( ق ( ه ( ه ج ولن ق ( ق( ( ج ه ق ( ج ج قاعدة االقتران هي : ق( ه : (تتحر نقطة مادية على خط متقيم بحيث إن رعتها بعد مرور ن ثانية من بدء حرتها تعطى بالعالقة ن > ن ن عن( ه وإن فجد االقتران الذي يمثل موقع النقطة المادية بعد مرور ن ثانية من بدء حرتها ن عن( ه ن ن ن ن ه ف ن ف ه ن بإجراء التامل ينتج ن ه ن ј ف ف ن( ن ه ن لو ن ج ه ه لو ن ج ه : ؤال وزاري 0 منهاج جديد ( جد قيمة التامل اآلتي : ( ه

80 أ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر نفرض ص ص ص ص (ه ص ص ه ص ه ( ( ج ه ص ه ج : ؤال وزاري 0 منهاج جديد إذا ان ق( لوأ ( ه العدد النيبيري وان ق ( فجد قيمة الثابت أ أ أ ق ( ه ولن ق ( ق ( أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ : ؤال وزاري 0 منهاج قديم لو ج ه جد قيمة التامل : ه ه ؤال إضافي : ه ج جد قيمة ما يلي : (ه حب النظرية ل( ق ( ل (ه أو نتخدم التامل بالتعويض نفرض ص ص ص ( نعوض ( (ه ص ه ص ( ص ه ص ه ج ج ص ه 7

81 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي : جد قيمة مايلي : ه جا ه جتا ج ( ؤال إضافي : إذا انت ق ( ه فجد قاعدة االقتران ق علما بأن النقطة تقع على منحنى االقتران ه ق ( ه بإجراء التامل ينتج ه ( ق ( ه ه ج ج ه ه ه لو ه لو ه ه ق( ولن ق ( ه حيث ه ه ج لو لو ه ه ق ( ج ج ق( ه لو ه ه

82 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف ( جد قيمة ما يلي : جا ( قا قا جتا فجد قاعدة االقترانق علما بأن ه ه ه ( إذا ان ق ( منحنى االقتران يمر بالنقطة ( جد قيمة ه قا (( ه جتا ظا ( ( جد ه ه 7 إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ق( عند النقطة ياوي ( ص( ه فاتب قاعدة االقتران ق علما بأنه يمر بالنقطة 0

83 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر النمو واالمضمحال النمو واالضمحالل من التطبيقات العملية المهمة لالقترانين : اللوغاريتمي واألي الطبيعي مفهوم النمو واالضمحالل : الثير من الظواهر العلمية تحلل مادة مشعة( واالجتماعية زيادة عدد الان واالقتصادية تناقص عر يارة( واإلنانية وغيرها ترتبط بالزمن زيادة أو نقصانا فإذا زادت نميها رياضيا ( نموا وإذا نقصت نميها ( اضمحالال ونعبر عن ذل رياضيا ما يلي : أ ن ه حيث ع ( القيمة االبتدائية : ع ص عن( ع.7 العدد النيبيري الزمن ه ن أ ثابتا عدديا يمثل ثابت التناب مالحظات على المعادلة : تون المعادلة ص عن( معادلة النمو إذا انت تزداد مع الزمن ن( ويون ويمى معامل أ < النمو أ > ت ون المعادلة ص عن( معادلة االضمحالل إذا انت تنقص مع الزمن ن(ويون ويمى معامل االضمحالل صفحة مثال التاب إذا ان عدد ان بلدة ما يخضع لقانون النمو ويتزايد بانتظام واتمرار بمعدل % نويا وان عدد انها ألف نمة عام 99 م فم يبلغ عدد انها عام م عدد الان عن( ع ه أن عندما نقول ان عدد انها يعني القيمة االبتدائية ع. والمعدل النوي % أ يعني عاما 99 والزمن ن هو ن..7( ع ( نمة عدد ان البلدة عام.7 ع (

84 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر تدريب التاب صفحة اقترض يمان مبلغ دينار من مصرف يحب ربحا مربا منتظما وفق قانون النمو بنبة ربح مقدارها % نويا جد جملة المبلغ الي يدده يمان للمصرف بعد مرور خم وعشرين نة نة ن. أ ع جملة المبلغ عن( ع أن ه ( ع دينار صفحة مثال التاب تتحلل مادة مشعة بصورة متمرة منتظمة وفق قانون االضمحالل وبمعدل تناقص مقداره 0 نويا جد تلة المادة المشعة المتبقية بعد مرور نة علما بأن تلة المادة األصلية هي غراما تلة المادة المتبقية عن( ع أن ه ن. أ حيث ع غرام.7.7(. ع (.7( تدريب التاب صفحة يتناقص ثمن عقار بمرور الزمن وبصورة متمرة منتظمة وفق قانون االضمحالل بمعدل % نويا فإذا ان ثمنه األصلي دينار فم يصبح ثمنه بعد مرور نة ثمن العقار عن( ع ه أن ن. أ حيث ع 97. دينار.7(.7(..7( ع ( مثال التاب صفحة يتزايد عر قطعة أرض وفق قانون النمو بمرور الزمن وبصورة متمرة منتظمة فإذا ازداد عرها من ألف دينار إلى ألف دينار خالل نوات فجد عرها بعد مرور نة

85 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر عر قطعة األرض عن( ع ه أن حيث ع ع ( دينار دينار ه( أ ع ( ع ( ه( أ نقم الطرفين على فيون ه( أ أ نة فإن : ع ( عندما ن ه أ ه دينار يصبح ثمنها بعد نة ( صفحة حل األئلة ( تتاثر البتيريا بصورة متمرة منتظمة وفق قانون النمو بنبة % في الاعة جد عددها بعد نصف اعة علما بأن عددها االبتدائي ( ع عدد البتيريا عن( أن ه ع أ ن. اعة ع. (.7(..7 يتناقص ثمن يارة بمرور الزمن وبصورة متمرة منتظمة وفق قانون االضمحالل وبمعدل % نويا فإذا ان ثمنها األصلي دينارا فجد ثمنها بعد مرور نة ثمن اليارة عن( حيث ع ع ه أن.7( ن. أ ع (.7(..7( 7. دينار ثمن اليارة بعد مرور نة يذوب ملح في الماء وتخضع تلة الملح المتبقية من دون ذوبان في الماء لقانون االضمحالل إذا وضعت يلو غرامات من الملح في الماء فذاب نصف المية بعد مرور ربع اعة فجد تلة الملح المتبقية من دون ذوبان في الماء بعد اعة وربع الاعة

86 أ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر تلة الملح المتبقية عن( ع ه أن يلو غرام أ ع. ( يلو غرام مية الملح دون ذوبان بعد ربع اعة ع ع. ( ه(. ه(. أ ه. أ. ع. ( ه. أ. يلو غرام.( ه. أ ( يتزايد عدد ان مدينة ما بصورة متمرة منتظمة وفق قانون النمو بنبة مقدارها %0 نويا فإذا بلغ عدد انها نمة عام م فم يبلغ عدد انها عام م أن ( عدد ان المدينة عن( ع ه نة ن. أ حيث ع.7 ع.7(. نمة ؤال إضافي : وضع مبلغ ( دينار في بن بحاب الربح المرب المتمر حيث يخضع حاب جملة المبلغ لقانون النمو وبنبة فائدة منتظمة قدرها %( نويا أوجد مقدار الربح المتحقق بعد مرور (نة الربح المتحقق عن( ع أن ه دينار ن.7 دينار أ.. ع ع (.7( ؤال إضافي : يتناقص عر يارة بمعدل منتظم يبلغ % نويا ويخضع هذا التناقص لقانون االضمحالل فإذا اشترى هاشم يارة بمبلغ ( دينار أوجد عر اليارة بعد مرور (نة عر اليارة عن( ع ه أن نة ن. دينار أ ع 9.9 دينار.7.7(..7( ع ( 0

87 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي : يعطي بن ربحا متمرا للمتثمرين لديه بحيث تحب جملة المبلغ الناتجة عن اتثمار مبلغ معين حب قانون النمو فإذا انت نبة الربح التي يقدمها البن %( نويا ووضع مبلغ (دينار في البن جد جملة المبلغ بعد مرور (نة ن. دينار أ جملة المبلغ عن( ع ع حيث ه أن نة دينار.7..7( ع ( : ؤال وزاري 0 منهاج جديد تتحلل مادة مشعة بصورة متمرة منتظمة وفق قانون االضمحالل وبمعدل تناقص مقداره 0 نويا جد تلة المادة المشعة المتبقية بعد مرور نة علما بأن تلة المادة األصلية هي غراما تلة المادة المتبقية عن( ع أن ه ن. أ حيث ع غرام.7.7(..7( ع (

88 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف (مادة مشعة تلتها (غم تتحلل بشل منتظم وفقا لقانون االضمحالل إذا ان معدل التناقص للمادة يبلغ 0( فجد المية المتبقية من المادة المشعة بعد مرور ( نة (إذا ان النمو الاني في منطقة ما يخضع لقانون النمو واالضمحالل وان عدد ان هذه المنطقة عام م قد بلغ 0 (نمة إذا ان عدد الان يزداد بشل منتظم بمعدل % نويا فم ان عدد ان هذه المنطقة عام 90 م تصب حنفية في خزان ماء وتزداد مية الماء حب قانون النمو فإذا زادت مية الماء من ليتر إلى ليتر خالل اعتين جد مية الماء بعد مرور اعات على فتح الحنفية (يزيد عر األرض بمرور الزمن وتخضع هذه الزيادة لقانون النمو فإذا اشترى فرا قطعة أرض بمبلغ دينار وبعد نوات أصبح عرها دينار فجد عر األرض بعد مرور ( نوات (يتناقص ثمن عقار بمرور الزمن وبشل منتظم ويخضع هذا التناقص لقانون االضمحالل فإذا ان ثمن العقار األصلي دينار وان معدل التناقص ياوي % نويا فجد ثمن العقار بعد مرور عاما

89 إ( 7 7 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة حل أئلة الوحدة (جد ص في ل مما يأتي : أ(ص ص ص ب( ص ( ( صفر ألن التامل المحدود قيمة ثابتة ( ج( ص ظا ( ص ظا ( ظا ص د ص لو ه ص لو ه صفر ه ه ه ه ص و( ص جا لو لو جتا جا ه ه ذا ان ق( ه فجد ق ( ه ق ( ه ه ه ه ق ( (إذا ان ق( ( فجد ق ( بما أن ق( ق ( فإن (( ق ( ( ق ( (جد ال من التامالت اآلتية : ج 7 ج 7 (( ( 7 ص أ( ص

90 ص ( ص ص ص ص ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج ب( ج( ( ( ج ج 9 د( ه( ( ( ( نفرض ص ص ص ( ( ( ( ج ( ص ج ص < و( نفرض ص ص ص نعوض ص ص ج ص ج ج ه ( ز( ص لو ه ه ج لو ج لو ح( ه وذل ألن هي مشتقة ه ويمن إيجاد التامل بالتعويض ما يلي : نفرض ص ص 7

91 ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ص نعوض لو ص ج ه ص ص ص ج لو ط( ه ه ه ج وذل لأن ه هي مشتقة ه ويمنإيجاد التامل بالتعويض ما يلي : نفرض ص ص ص ج ص ه ه ص ص ه ص ه جتا ( ي( ( قا ( ( ج ظا (احب قيمة ل من التامالت اآلتية : ( ( أ( ه ه.7. ( ب( ه حيث ه العدد النيبيري ه ه ه ه ه ج( ( 7 د( ( ( 7

92 ب أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( ( ( لو ( لو ه.7 ( لو 7 لو 7 لو 7 ( ه ( ( ه ( ( ه( لو لو و( ه ه ز( ( ( ه ه (إذا ان ق( صفرا ه ه فجد قيمة الثابت ب ه ه ه ب ب ب ب ب ب بما أن التامل ياوي صفر فهذا يعني أن : ب ب ب ب ق( فجد قيمة ل مما يأتي : ب (ب إما ب أو ب 7 (إذا ان ق( أ( ق( ق( ق( ق( ق( ق( ق( ق( ب( ق( ق( ق( 70

93 ب ب ب ب ب ب ب ب ب أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج( ق( ( ق( (جد قيمة الثابت ب في ل مما يأتي : ب أ( ب ب ب ب ب ب ( بما أن التامل ياوي صفر وقاعدة االقتران معلومة فإن : ب( (( ب( ( ب ب ب( ( ب ب (ب ( ب ( ( ( ( ((( ب ( ( ج( ب ( ( ب ب ب ب ب ( ( 9 ب 9 ب 7 ب د( ( ( ب ب ب ( ( ب ب ب ب ب ب نقم على فيون ب ب (ب ( إما ب أو ب 7

94 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر (إذا ان ميل المما لمنحنى االقتران ص ق( عند النقطة ص( يعطى بالقاعدة : ( فجد قاعدة االقتران ق علما بأن منحناه يمر بالنقطة ( ( ( بإجراء التامل للطرفين بالنبة للمتغير يون : ق ( ( ( ( ق ( ( ق( ق ( ق( ج ولن ( ج ( ق ( ( ج ج ج قاعدة االقتران : ق( 7 (جد ماحة المنطقة المغلقة المحصورة بين منحنى االقتران ص ق( [ ومحور الينات في الفترة [ ق( صفر [ ] نالحظ أن يقع ضمن الفترة أوال نوجد التامل المحدود لالقتران ق على الفترة [ ] ثم نوجد التامل على الفترة [ [ 7 (( 7 7 (( 7 (( 7 7 (( 7 ( 7 7 ( 7 7

95 ن ن ن ن ن ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ق( ق( الماحة اللية ق( حيث ن الزمن بالثواني (تتحر نقطة مادية على خط متقيم بتارع مقداره تن( ن ن( م /ث فإذا انت رعتها االبتدائية ع م /ث وموقعها االبتدائي ف م فجد : أ(رعة النقطة المادية بعد مرور أربع ثوان من بدء الحرة ب(موقع النقطة المادية بعد مرور ثانيتين من بدء الحرة أ(تن( ن ن( ن ع ن ع ن ن ن ن ج ولن ع ( ع ن ج ( ع ( ( ج عن( ن 7 م /ث 9 ( ( ع ( ( ف ف ب( ن ن ن ج ولن ف ( ن ف ن ن( ج ( ف ( ( ن ن ج فن( ن م ( ( ( ف ( (يتزايد ثمن تحفة بمرور الزمن وبصورة متمرة منتظمة وفق قانون النمو بنبة %0 نويا فإذا ان ثمنها األصلي دينار فم يصبح ثمنها بعد مرور عاما 7..7( ثمن التحفة عن( ع ه أن ع ( دينار 7

96 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الوحدة اخلامة اإلحصاء واالحتماالت 70

97 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الفصل الأول طرائق العد مبدأ العد أولا : شرح مبدأ العد : لدى يوف ثالثة أنواع من القمصان ( أبيض أحمر أزرق وثالثة أنواع من من البناطيل ( جينز مخمل تان ونوعان من األحذية ( رياضي رمي فبم طريقة يمن أن يلب قميص وبنطلون وحذاء مختلفين قميص أبيض قميص أحمر قميص أزرق بنطلون جينز بنطلون مخمل بنطلون تان بنطلون جينز بنطلون مخمل بنطلون تان بنطلون جينز بنطلون مخمل بنطلون تان حذاء رياضي حذاء رمي حذاء رياضي حذاء رمي حذاء رياضي حذاء رمي حذاء رياضي حذاء رمي حذاء رياضي حذاء رمي حذاء رياضي حذاء رمي حذاء رياضي حذاء رمي حذاء رياضي حذاء رمي حذاء رياضي حذاء رمي من المثال الابق نالحظ وجود طريقة الرتداء قميص مع بنطلون وحذاء مختلفين 7

98 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر قميص أبيض بنطلون جينز حذاء رياضي قميص أبيض بنطلون جينز حذاء رمي قميص أبيضبنطلون مخمل حذاء رياضي قميص أبيضبنطلون مخمل حذاء رمي قميص أبيضبنطلون تان حذاء رياضي قميص أبيضبنطلون تان حذاء رمي طرائق االختيار طريقة قميص أحمر بنطلون جينز حذاء رياضي قميص أحمر بنطلون جينز حذاء رمي قميص احمربنطلون مخمل حذاء رياضي قميص أحمربنطلون مخمل حذاء رمي قميص أحمربنطلون تان حذاء رياضي قميص احمربنطلون تان حذاء رمي قميص أزرق بنطلون جينز حذاء رياضي قميص أزرق بنطلون جينز حذاء رمي قميص أزرقبنطلون مخمل حذاء رياضي قميص أزرقبنطلون مخمل حذاء رمي قميص أزرقبنطلون تان حذاء رياضي قميص أزرقبنطلون تان حذاء رمي هنا طريقة أخرى أهل بثير من هذه الطريقة وتعطي نف النتيجة وهي على الشل التالي : طرائق اختيار القميص هي طرق وهي بعدد القمصان طرائق اختيار البنطلون هي طرق وهي بعدد البناطيل طرائق اختيار الحذاء هي طريقة وهي بعدد األحذية عدد الطرائق هو : طريقة يتلخص مبدأ العد على النحو التالي : إذا أمن إجراء عملية ما ضمن مراحل متتابعة عددها (بحيث أجريت المرحلة األولى بطرائق عددها ن مثل اختيار القمصان في المثال الابق( والمرحلة الثانية بطرائق عددها ن مثل اختيار البناطيل في المثال الابق( وهذا حتى المرحلة االخيرة ( مثل اختيار األحذية في المثال الابق( والتي تجري بطرائق عددها ن فإنه يمن إتمام هذه العملية بطرائق عددها ن ن ن صفحة مثال التاب في متبة فاطمة دوواين شعرية و روايات إذا أرادت فاطمة قراء تابين أحدهما يمثل ديوانا شعريا واآلخر يمثل رواية أدبية فبم طريقة يمنها ذل عدد طرائق اختيار الرواية عدد طرائق اختيار الديوان الشعري عدد طرائق االختيار هو : تدريب التاب طريقة صفحة محل لبيع الخضراوات والفواه يحتوي على أربعة أصناف من الفاهة وصنفين من الخضراوات دخلت أم رامي المحل لشراء صنف واحد من الفواه وصنف آخر من الخضراوات ما الخيارات المتوفرة عدد طرائق اختيار صنف واحد من الفاهة عدد طرائق اختيار صنف واحد من الخضراوات عدد طرائق االختيار هو : 7

99 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة مثال التاب أراد عمر شراء ثالجة وغالة وجهاز تييف من أحد معارض األجهزة الهربائية بم طريقة يمنه شراء ذل علما بأن المعرض يحتوي على أنواع مختلفة من الثالجات و أنواع من الغاالت و أنواع من أجهزة التييف عدد طرائق اختيار الثالجة : عدد طرائق اختيار الغالة عدد طرائق اختيار جهاز التييف عدد طرائق االختيار هو : طريقة تدريب التاب صفحة لدى محمد أربعة أنواع من القمصان وثالثة أنواع من البناطيل ونوعان من األحذية فهل يفيه ذل إذا أراد ل يوم ارتداء لبا مختلف عن اليوم الذي بقه مدة شهر امل عدد الطرائق هو نالحظ أن > 0 نالحظ أن عدد الطرائق ال تفي شهر امل صفحة مثال التاب من مجموعة األرقام اآلتية :{ } م عددا يمن توينه من منزلتين : إذا مح بترار األرقام إذا لم يمح بترار األرقام بما أن الترار مموح به فإن : عدد طرائق اختيار المنزلة األولى ( آحاد( هي : عدد طرائق اختيار المنزلة الثانية ( عشرات( هي : عدد طرائق توين العدد طريقة بما أنه ال يمح بالترار فإن : عدد طرائق اختيار المنزلة األولى ( آحاد( : عدد طرائق اختيار المنزلة الثانية عشرات( : ( ألن عدد االختيارات نقص واحد ببب عدم الترار عدد طرائق توين العدد طريقة 7

100 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة تدريب التاب بم طريقة يمن توين عدد من منازل من مجموعة االعداد الفردية التي هي أبر من وأقل من أو تاوي في حال : أ(مح بترار األرقام ب( لم يمح بترار االرقام مجموعة االعداد الفردية أبرمن وأقل أو تاوي هي } { 9 0 أ( إذا مح بالترار : عدد طرائق اختيار المنازل الثالثة للعدد من } { 9 0 هو 0 عدد طرائق اختيار المنزلة األولى للعدد من{ { 9 0 والمنزلتين األخريين للعدد من } { هو : 9 عدد طرائق اختيار المنزلتين األوليين للعدد من{ { والمنزلة الثالثة للعدد من } 9} 0 هو : 9 عدد طرائق االختيار : ب( إذا لم يمح بترار األرقام هو : عدد طرائق اختيار المنازل الثالثة للعدد من } { 9 0 نتثني العدد ببب ترار العدد األعدد من ثالثة منازل والمونة من } 9 0 مع } { عددها ( وهي : { } العدد محذوف ببب ترار العدد األعدد من ثالثة منازل والمونة من } مع } { 9 0 عددها ( وهي : } { العدد محذوف ببب ترار العدد عدد طرائق االختيار : مضروب العدد الصحيح غير الالب : مضروب أي عدد هو ضرب ذل العدد بجميع األعداد التي أقل منه حتى االنتهاء بالعدد واحد فإذا ان العدد هو (ن فإن مضروب العدد ن يرمز له بالرمز نلا وياوي : نلا ن ن ( ن ( ن ( قاعدة للحفظ : لا 77

101 لا لا 7 لا لا لا لا لا لا لا أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة مثال التاب جد قيمة ل مما ياتي : 7 صفحة تدريب التاب بم طريقة يمن أن يجل طالب على مقاعد موضوعة بطريقة متقيمة عدد طرائق جلو الطالب االول على مقاعد هو عدد طرائق جلو الطالب الثاني على مقاعد هو عدد طرائق جلو الطالب الثالث على مقاعد هو عدد طرائق جلو الطالب الرابع على مقاعد هو عدد طرائق جلو الطالب الخام على مقعد هو عدد طرائق جلو الطالب الاد على مقعد هو عدد طرائق جلو الطالب على المقاعد 0 طريقة صفحة مثال التاب حل ال من المعادالت اآلتية : نلا 7 7 نلا ن نلا( نلا( نقم الطرفين على نلا ولن نلا ن 0

102 لا لا( لا( لا( لا لا( لا( ن ن لا( ن لا( لا لا لا لا( لا لا( لا( ن ن ن لا( ن لا( أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ن ن ن ن ن ن نلا نن ن ن نن ( ن ن ( ن ن إما أو مرفوض صفحة 0 تدريب التاب حل ال من المعادالت اآلتية : نلا( نلا ن نلا( نلا( نقم الطرفين على ن نلا نلا ن ن ن ن ىث ن ن لا( ن ن ن نن ( ن ن (ن ( إما ن مرفوض أو 7 ؤال إضافي إذا ان نلا أوجد قيمة ن : ن نقم الطرفين على فيون نلا نلا لا 00

103 لا لا لا لا لا( لا لا أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر لا ؤال إضافي إذا ان نلا( فجد قيمة ن نلا( نلا( نلا( نقم على ن نلا نلا ؤال إضافي جد قيمة : ( ؤال إضافي جد قيمة : نقم الطرفين على فيون نلا( نلا ن نلا لا ؤال إضافي جد قيمة : نلا نلا نلا نلا ن نلا لا ؤال إضافي جد قيمة ما يلي : 7 لا لا لا 0

104 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة حل األئلة (تعمل حافالت لنقل الراب بين مدينتي مأدبا وعمان وتعمل حافلة أخرى بين مدينتي عمان والزرقاء فإذا أراد راب أن يافر من مأدبا إلى الزرقاء مرورا بعمان ثم يعود الا الطريق نفه فبم طريقة يمنه عمل ذل شريطة أال يرب الحافلة نفها في أثناء رحلته عودة الزرقاء الزرقاء عمان 7 حافلة 9 حافالت عمان حافلة حافالت ذهاب مأدبا مأدبا أثناء الذهاب : عدد طرائق روب الحافلة بين مأدبا وعمان عدد طرائق روب الحافلة بين عمان والزرقاء عدد طرائق الذهاب أثناء العودة : عدد طرائق روب الحافلة بين الزرقاء وعمان 9 عدد طرائق روب الحافلة بين عمان ومادبا 9 عدد طرائق العودة 9 9 عدد طرائق الذهاب والعودة 0 ( محل لبيع المجمدات الغذائية فيه أنواع مختلفة من األما و أنواع مختلفة من اللحوم الحمراء ونوعان مختلفان من الدجاج بم طريقة يمن ألحد الزبائن أن يشتري نوعا واحدا من ل األما واللحوم الحمراء والدجاج عدد طرائق شراء نوع واحد من األما : عدد طرائق شراء نوع واحد من اللحوم الحمراء عدد طرائق شراء نوع واحد من الدجاج عدد طرائق شراء نوع واحد من األما واللحوم الحمراء والدجاج طريقة اتبعت دائرة الير في إحدى الدول نظاما لترقيم اليارات متخدمة األرقام 9y بحيث تحتوي لوحة اليارة على أرقام وحرفين من أحرف الهجاء م يارة يمن ترقيمها بهذه الطريقة علما بأن عدد أحرف الهجاء حرفا وترار األرقام مموح به خالفا لترار األحرف الحل :بما أنه مموح بترار األرقام فإن : عدد الطرائق الرقم األول الرقم الثاني الرقم الثالث الرقم الرابع 9 طرائق 9 طرائق 9 طرائق 9 طرائق 0

105 لا لا لا لا لا لا( أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر وبما أنه غير مموح بترار أحرف الهجاء فإن : عدد الطرائق 0 0 حرف الهجاء األول حرف الهجاء الثاني 0 طريقة طريقة عدد الطرائق اللي 0 9 ( جد قيمة ل مما ياتي : 7 أ( لا ب( لا ج لا د( ( حل ال من المعادالت اآلتية : ن نلا نلا أ( نلا( نقم على نلا لا ن نلا ب( نلا( نلا( نضرب ب ن ن ن ج( ن ن (لا لا 0

106 لا 7 لا( لا( لا لا أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف بم طريقة يمن ترتيب تب على رف المتبة في صف واحد أراد أحد الطلبة شراء قلم ومطرة ودفتر من إحدى المتبات حيث وجد فيها ثالثة أنواع مختلفة من األقالم ونوعين من الماطر وأربع أنواع من الدفاتر فبم طريقة يمن للطالب شراء قلم ومطرة ودفتر دخل أحمد مطعما لتناول وجبة الغداء فوجد أن قائمة الطعام لذل اليوم تحتوي ثالثة أنوع من الشوربة ونوعين من الم فبم طريقة يمنه اختيار وجبة مونة من نوع واحد من الشوربة ونوع واحد من الم إذا ان عدد المعلمين في إحدى المدار ( معلما بم طريقة يمن توين لجنة ثالثية مؤلفة من رئي وأمين ر وأمين صندوق يتون مجل إدارة إحدى الشرات من خمة أعضاء م طريقة يمن بها رئي ونائب الرئي من بين أعضاء مجل إدارة الشرة دخل أحد الزبائن محال لبيع أجهزة الحاوب فوجد أمامه (أنواع مختلفة لشاشات العرض و ( انواع مختلفة للوحات المفاتيح و ( أنواع لوحدات التشغيل الصندوق( فبم طريقة يمنه اختيار جهاز مون من شاشة العرض ولوحة المفاتيح ووحدة التشغيل 0( جد قيمة مايلي : ب 7 ( أ( لا ج( ن لا( ن لا( د( 00

107 ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ثانيا : التباديل شرح مبدأ التباديل من خالل مثال : اعلنت إحدى الشرات عن توافر شاغرين لرئي قم وعضو فيها فإذا تقدم ثالثة أشخاص لهاتين الوظيفتين هم أحمد وهديل وامي فاتب جميع الطرائق الممنة الختيار شخصين منهم على أن ال يشغل الشخص نفه لتا الوظيفتين الحل: حب مبدأ العد : رئي قم طرائق عضو طريقة عدد طرائق اختيار رئي قم وعضو واالختيارات هي : أحمد هديل( أحمد امي( هديل أحمد(هديل امي( امي هديل امي أحمد نالحظ أن الترتيب له أهمية بيرة ويعطي معنى مختلفا فمثال احمد هديل( يعني أن أحمد هو رئي القم وهديل هي العضو بينما هديل احمد يعني أن هديل هي رئي القم وأحمد هو العضو االزواج المرتبة ابقا تمى تباديل المجموعة{ أحمد هديل امي} نرمز للتباديل بالرمز : ل ن ر حيثن( عدد طبيعي ويعبر عن عدد عناصر المجموعة أما ر( فهي عدد طبيعي يعبر عن عدد العناصر التي تم اختيارها ويون لن ر نلا ر(لا حيث لن ر( ن ن ( ن ( ن ( نر ( حل المثال الابق باتخدام التباديل : لن ر ل ( ن( حيث هي عدد عناصر المجموعة ور( هي العناصر المأخوذة اثنين اثنين ملاحظة هامة : نتخدم التباديل عندما يون الترتيب مهم مثل : توين عدد بعدة منازل أو توين لجنة فيها مناصب محددة أو توزيع أشياء على صف واحد أو توين لمات من أحرف صفحة مثال التاب ما عدد تباديل مجموعة مونة من 0( عناصر مأخوذة ( في ل مرة 0

108 لا( لا( لا( لا 7 لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ل بطريقة ثانية : 7 لا 7( صفحة تدريب التاب ( م عدد تباديل مجموعة مونة من عناصر مأخوذة في ل مرة ل 7( (جد قيمة ل (ل بطريقة ثانية : لا ( 7 ل 7( ل صفحة مثال التاب بم طريقة يمن اختيار رئي منتدى ثقافي وماعد له وامين ر وأمين صندوق مختلفين من بين أعضاء منتبين إلى هذا النادي بما أن الترتيب مهم نتخدم التباديل في حل المثال 7 9 ل طريقة طريقة ثاتية للحل : لا لا ( صفحة تدريب التاب ما عدد طرائق اختيار رئي شرة ونائب له ومدير مالي من بين أثر من وظيفة واحدة في الشرة موظفا في الشرة علما بان الشخص الواحد ال يشغل بما أن الترتيب مهم نتخدم التباديل : 0

109 لا لا أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ل صفحة مثال التاب جد قيمة ر( في ل معادلة مما يأتي : ( ل ر( ل ر( ل ر ل ر 9 ل ر ل ر 9 ل ر( 9 ل ر( ل ر( نقم على ر( ل ر( ل ر( ل ل ر صفحة تدريب التاب 0 جد قيمة ر( في ل من المعادلتين اآلتيتين : ل ر( 7 ل ر ل ر( 7 ل ر( ل ر 7 ل 7 ر( ر ر ل ل نقم على ر ل ر ل ل ر( ل ر 0

110 لا لا لا لا لا لا لا لا( لا لا لا( لا( لا( لا( لا( لا( لا( لا( لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا لا أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر نشاط : ( جد قيمة ل من : ( ل ( ل ( ل ( جد قيمة ل من : ( ل ( ل ( ل ( جد قيمة ل من : ( ل ( ل ( ل 07

111 لا لا لا ن لا لا أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي لن جد قيمة ن( التي تحقق المعادلة لن ن ( نقم على نن ( ن ن ( ن ( ن ن : ؤال إضافي ماهوعدد التباديل الثالثية المأخوذة من مجموعة داية ل ؤال إضافي ل إذا ان ر فجد قيمة ر ر نقم على فيون ر ل ل ر ل ر ل ؤال إضافي ما عدد تباديل مجموعة عدد عناصرها ( مأخوذة ( من العناصر في ل مرة أ( ب( لا لا ج( لا د( 7 ؤال إضافي جد قيمة مايلي : ل 9 ر : ؤال إضافي جد قيمة مايلي ل فما قيمة ر نقم الطرفين على ر( ل ر ل ر ل ر( ل 00

112 لا لا أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال وزاري 0 منهاج جديد م عدد مون من منزلتين يمن توينه من مجموعة األرقام{ } 0 إذا لم يمح بترار األرقام 7 ج( ( أ( ب( ل د( ؤال وزاري 0 منهاج قديم بم طريقة يمن اختيار رئي ونائب الرئي من مجموعة تتون من ( أفراد د ب ( أ( ج( ل لا 000

113 لا لا( أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة حل األئلة ما عدد تباديل مجموعة مونة من 9 عناصر مأخوذة في ل مرة ل بم طريقة يمن اختيار رئي قم وماعد له وامين عهدة من بين 9 أعضاء في القم شريطة أن ال يشغل أحدهم وظيفتين معا 7 ل 9 9 ( جد قيمة ل مما ياتي : 7 ل أ( لا ( 7 9 ب(ل أو لا ج( ل 9 د( ل 7 ( عبر عما ياتي باتخدام التباديل : ل 7 أ( 7 ( ب( ( ( ( ل ( جد قيمة ل من ن( و ر( في ما ياتي : أ( لن 7 ن نن (ن ( 9 ب(ل ر( ل ( ر ل ر ل ( ر ج( لن 9 ل ن ن ن ( ن 9 ن ن نقم على نن ( ن 9 ن ( م لمة مونة من أحرف مختلفة يمن توينها من مجموعة االحرف } أ ن ق غ م { علما بأنه لي شرطا أن يون لللمة معنى ل الحل: 00

114 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف ( ما قيمة ل مما ياتي : ل أ( ب( ل د(ل ل 9 ج( ( جد قيمة ن( التي تحقق ل مما يلي : 9 لن ب( لن 7 أ(لن بم طريقة يمن اختيار مديرة وماعدة مديرة ورتيرة ومحابة وقيمة مختبر من بين ( معلمات ( ما عدد تباديل مجموعة عدد عناصرها 9( مأخوذة ( من العناصر في ل مرة ( بم طريقة يمن أن يجل ( طالب على ( مقاعد موضوعة في صف واحد ( بم طريقة يمن اختيار رئي لجنة ونائب رئي وأمين ر من مجموعة مونة من 0 طالب بم طريقة مختلفة يمن اختيار لجنة مونة من مدير ونائب له وأمين ر من بين ( مرشحين د( ج( ب( أ( 0 00

115 ظ ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ثالثا : التوافيق شرح مبدأ التوافيق من خالل مثال : ضمن تصفيات رة القدم ألمم آيا ضمت المجموعة األولى فرق الدول اآلتية : األردن العودية اليابان العراق بم طريقة يمن إجراء مباريات التصفية النهائية بين هذه الفرق إن مباريات التصفية على الشل التالي : األردن العودية ( األردن اليابان( ( األردن العراق ( العودية اليابان( العودية العراق ( اليابان العراق نالحظ أن عدد المباريات هو : وان الترتيب هنا غير مهم فمثال مباراة ( األردن العودية( هي نفها مباراة ( العودية األردن لذل نمي اختيار مجموعة جزئية مثل المباريات عدد عناصرها ر( من مجموعة مثل عدد الفرق عدد عناصرها ن( حيث : توفيقا حيث يون الترتيب غير مهم ونرمز للتوفيق بالرمز : ن ر نظ رظن (ظ ن ر وتقرأ : ( ن فوق ر( لن ر( رظ صفحة مثال التاب جد قيمة ل مما ياتي : ل ل 9 ل 9 00

116 ظ ظ ظ ظ ظ 7 ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة تدريب التاب جد قيمة ل مما يأتي : ل ل ل نشاط : جد قيمة مايلي : ل ظ ظ ظ ل ل ملاحظة هامة جدا : نتخدم التوافيق عندما يون الترتيب غير مهم مثل اختيار لجنة أو مجموعة او فريق دون تحديد مناصب معينة وذل عندما يطلب اإلجابة على عدد من األئلة من مجموعة من األئلة وذل عند تحديد عدد مباريات التصفيات التي تجمع عدد من الفرق أو الالعبين 000

117 ظ ظ 7 ظ( ظ ظ ظ ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة مثال التاب امتحان للغة العربية يتون من 0 أئلة جد عدد طرائق اختيار أئلة لإلجابة عنها بما أن الترتيب غير مهم لذل نتخدم التوافيق 7 طريقة عدد الطرائق 7 ل 7 7 ظ 7( طريقة ثانية : طريقة صفحة مثال التاب في إحدى مديريات التربية والتعليم يراد اختيار لجنة رباعية تتولى إعداد خطة اتعدادا لبدء العام الدراي من بين 0 رؤاء أقام و أعضاء أقام بم طريقة يمن توين اللجنة في الحاالت اآلتية : اللجنة تتون من رؤاء أقام وعضو واحد اللجنة تتون من عضوين اثنين على األقل رئي اللجنة يجب أن يون رئي قم والبقية من األعضاء ال تضم اللجنة أي عضو من أعضاء األقام 7 ل 7 7 عدد طرائق اختيار رؤاء أقام ل عدد طرائق اختيار عضو واحد طرائق عدد طرائق اختيار اللجنة طريقة مالحظة هامة : نتخدم إشارة ( عند وجود حرف ( و( بين أعضاء اللجنة أن يقال رؤاء أقامو( عضو واحد أما إذا ذر ( أو فإننا نتخدم إشارة ( ( بما أن اللجنة تتون من عضوين اثنين على األقل فإن هنا عدة حاالت للجنة : اللجنة تتون من عضوين اثنينو( رئيي قمين أو( من ثالثة أعضاء و(رئي قم واحد أو( من أربعة أعضاء فقط ومن دون رؤاء أقام 00

118 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر طريقة عدد طرائق اختيار اللجنة ( عدد طرائق اختيار رئي اللجنة 0 طرائق حب مبدأ العد( وباتخدام التوافيق يعطي نف النتيجة عدد طرائق اختيار اللجنة طريقة 7 ( تتألف اللجنة جميعها من رؤاء األقام فيون عدد طرائق اختيار اللجنة : طريقة تدريب التاب في صفحة 0 أحد المتشفيات يراد اختيار فريق طبي خماي لتمثيل المتشفى في مؤتمر صحي من بين أطباء و ممرضين بم طريقة يمن توين الفريق في الحاالت اآلتية : الفريق يتألف من طبيبين اثنين على األثر رئي الفريق ونائبه من األطباء والبقية ممرضون ( بما أن الفريق يتألف من طبيبين على األثر فإننا نميز الحاالت التالية : اللجنة تتون من طبيبين اثنين و(ثالثة ممرضين أو( من طبيب واحد و( أربعة ممرضين أو( خمة ممرضين و(من دون أطباء عدد طرائق اختيار اللجنة 7 طريقة ( عدد طرائق اختيار رئي الفريق ونائبه ل عدد طرائق اختيار ممرضين من عدد طرائق اختيار الفريق طريقة Y قاعدة للحفظ : ن ر ن ر ن حيث ن ر عددان طبيعيان ن رY 00

119 ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر للتاد من هذه القاعدة نحل هذا المثال : 7 ل 7 ل نالحظ من هذا المثال أن : ن ن ن ن ن وذل : صفحة 0 مثال التاب حل ال من المعادلتين اآلتيتين : فإن 7 7 B 7 أو : حب القاعدة 9 فإن ( حب القاعدة : صفحة 0 تدريب تاب حل ل معادلة مما يأتي : أو 00

120 ظ ظ ظ ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي إذا ان أ( فإن قيمة ن( تاوي : ب( ج( د( ن ن ن ن ؤال إضافي بم طريقة يمن اختيار ( معلمين وطالبين لتشيل لجنة في إحدى المدار من بين ( معلمين و ( طالب بما أنه لم تحدد مناصب معينة للمعلمين والطالب نتخدم التوافيق ل طريقة ل طرائق اختيار اللجنة ؤال إضافي جد قيمة ن( إذا علمت أن : نظ ل ( ل نظ نظ ن ؤال إضافي بم طريقة يمن اختيار ثالثة طالب من بين ( طالب لتشيل لجنة للمشارة في إحدى المؤتمرات أ(ل ب( ؤال إضافي ج( د( ظ 9 9 حل المعادلة الآتية : أو B 7 007

121 ظ ظ ظ ظ ظ ظ ظ لا أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي جد قيمة ظ ب( ظ 7 جد قيمة : تاوي : ل ج( ل 7 ظ د( ظ ظ 7 ل أ( ؤال إضافي ؤال إضافي بم طريقة يمن اختيار (طالب و (طالبات لتشيل لجنة في إحدى الليات من بين ( طالب و ( طالبات أ( ب( ج( ل ( ل ( د( ل ( ل ( ؤال إضافي عدد توافيق ( عناصر مأخوذة ( عناصر في ل مرة تاوي : ج( ظ د( أ( ل ( ب( ؤال إضافي بم طريقة يمن إجراء مباريات التصفية النهائية لرة القدم بين أربعة فرق رياضية بما ان الترتيب غير مهم والتصفية النهائية تون بين فريقين فإن : ؤال إضافي ل طرائق حل المعادالت اآلتية : نقم الطرفين على وذل B ؤال وزاري 0 منهاج جديد ( حل المعادلة التالية : لن لا ( ن ( حيث ن عدد صحيح موجب لن لن ل ن لن 0

122 ظ ظ ظ ظ ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ن ن (ن ( نن (ن (ن ( ن ن ( مجموعة مونة من خمة رجال وأربع ناء بم طريقة يمن توين لجنة رباعية منهم بحيث يون فيها رجالن على األقل رجالن و واثنتان من الناء أو ثالثة رجال وواحدة من الناء أو أربعة رجال ودون ناء ؤال وزاري 0 منهاج قديم ( ب( ( قيمة تاوي : ل أ( ظ( ظ 0 ظ( ظ( ل ج( نقم على نن ( ل د( ظ ل نن ( ( حل المعادلة الآتية : لن لن نن (ن ( ن ن بم طريقة يمن اختيار ( معلمين وطالبين اثنين لتشيل لجنة من بين (معلمين و 9 ( طلاب 9 ( ( ( ( ( ل ل 9 ( 9 ( ( 00

123 ظ ظ ظ ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة حل األئلة ( جد قيمة ل مما يأتي : أ( ل طريقة ثانية : 97 ظ 97 ظ ظ 0 لن أنا أفضل الطريقة األولى دائما بالحل ألنها أهل ظ 97 ظ ل ( ظ ظ ظ ب( ظ ل ج ل د( ( جد عدد طرائق اختيار قلمين من علبة تحوي أقالم 9 ل طريقة أ( عائلة تتألف من أوالد و بنات يراد تليف منهم بتنظيف الحديقة فبم طريقة يوجد بنتان على االقل ضمن الفريق ب(ال يوجد أي بنت في الفريق يمن اختيارهم بحيث : ج( يون رئي الفريق من البنات أ( في حال يوجد بنتان على األقل نميز الحاالت التالية : بنتان و( ولد ( أو( ثالثة بنات و( دون أوالد ل طريقة طرائق اختيار الفريق 0

124 ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ب( أي الفريق مون من ثالثة أوالد و من دون بنات أي : طرائق طرائق اختيار الفريق ل ج( يون رئي الفريق من البنات : طرائق اختيار رئي الفريق من البنات 7 7 ( بنتين و خم أوالد طرائق اختيار عضوين من 0 عدد طرائق اختيار الفريق ل 7 ( حل ل معادلة مما يأتي : نقم على فيون أ( وذل B ب( B 0

125 ظ( ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف مجموعة مونة من ( معلمين و ( إداريين جد عدد الطرق التي يمن بها توين لجنة ثالثية بحيث تتون من معلم واحد على األقل ياوي : (إذا ان ل ( ن فإن ن أ( ب( ج( د( هي : ج( (قيمة التي تحقق المعادلة ب( أ( د( ( بم طريقة يمن اختيار تابين من بين بعة تب مختلفة 7 أ( ب( ج( د( { هي : ج( } { (مجموعة ل قيم التي تحقق المعادلة أ({ } د({ ب ({} فما قيمة ن ن لن ( إذا ان جد قيمة ن التي تحقق المعادلة : 0 ن 9 9 ل ( جد قيمة قيم ( في المعادلة 9 (مجموعة من ( معلمين و ( إداريين جد عدد الطرق التي يمن بها توين لجنة رباعية منهم بحيث يون رئي اللجنة إداريا ونائبه معلما 0

126 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الفصل الثاني المتغير العشوائي المنفصل وتوزيع ذي الحدين المتغير العشوائي المنفصل وتوزيع ذي الحدين أولا : الفضاء العيني : هو جميع النتائج الممنة للتجربة العشوائية ونرمز له بالرمز أوميغا( مثال : الفضاء العيني لتجربة رمي قطعة نقد معدنية مرة واحدة هو مجموعة ل النواتج الممنة أي : } صورة تابة { مثال : الفضاء العيني في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة هو مجموعة النواتج الممنة أي : { } المتغير العشوائي : هو اقتران معرف من الفضاء العيني الرموز ص ع للداللة على المتغيرات العشوائية إلى مجموعة جزئية من األعداد الحقيقية ح بحيث تتخدم المتغير العشوائي المنفصل : هو المتغير العشوائي الذي يأخذ قيم تون مجموعة معدودة مثال على المتغيرات العشوائية المنفصلة : عدد االطفال في أرة هي مجموعة معدودة وذل إلقاء قطعة نقد معدنية مرتين هي مجموعة معدودة وغيرها صفحة مثال التاب إذا دل المتغير العشوائي على عدد االطفال الذور في تجربة اختيار عشوائي لعائلة لديها أطفال ودونت النتائج بحب الجن وتلل الوالدة فجد القيم التي قد يأخذها المتغير العشوائي نوجد الفضاء العيني لهذه التجربة وعدد االطفال من ل ناتج : عدد االطفال الذور عناصر الفضاء العيني ( و و و ( و و ب ( و ب و ( ب و و ( و ب ب ( ب و ب ( ب ب و ( ب ب ب المتغير العشوائي يأخذ القيم :{ { وهي قيم معدودة ومنتهية لذا يمى متغيرا عشوائيا منفصال 00

127 ن أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر حاب احتمال القيم ل( التي يأخذها المتغير العشوائي ( : من المثال الابق : ل ( لو و و وتعني احتمال ل( ل ( لو و ب( لو ب و(ب و و( ل ( لو ب ب(لب و ب(لب ب و( ل ( لب ب ب( وجود أوالد ( هو ( من ( يمن ترتيب هذه النتائج بطريقتين : احتمال عدم وجود ولد هو ( من ( ( احتمال وجود ولدين هو ( من ( احتمال وجود ولد واحد هو ( من الطريقة األولى : على شل أزواج مرتبة تمى التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي : { ( ( ( (} الطريقة الثانية : على شل جدول نميه جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي : لر( نالحظ من الجدول مايلي : لر( X صفر ر حيث : z لر( بوجود النتيجتين الابقتين نمي ل اقتران احتمال للمتغير العشوائي صفحة تدريب التاب في تجربة إلقاء قطعتي نقد مرة واحدة دل المتغير العشوائي ع على عدد مرات ظهور تابة على الوجه الظاهر : جد القيم التي يمن أن يأخذها المتغير العشوائي اتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي بين أن ل هو اقتران احتمال للمتغير العشوائي ع ع ع 0

128 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر نرمز للصورة بالرمز ص( وللتابة بالرمز ( ص ( ص ( (} نتب الفضاء العيني : {ص ص { } U إليجاد جدول التوزيع االحتمالي نحب أوال احتمال القيم للمتغير العشوائي ع : لع ( لص ص( لع ( لص ( ل ص لع ل ر ع لع : ل ع بما أن ر X صفر وذل z ر ( لع فإن ل هو اقتران احتمال للمتغير العشوائي ع صفحة مثال التاب إذا ان التوزيع االحتمالي للمتغير معطى ما في الجدول اآلتي فما قيمة الثابت أ أ.. لر(. أ. أ أ.. z لر( صفحة تدريب التاب إذا ان التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي معطى في المجموعة : (}. (. (. ( ب { فما قيمة الثابت ب z لر(... ب. ب. ب. ب 0

129 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر توزيع ذي الحدين : تجربة ذات الحدين : هي تجربة يتم ترارها ن( من المرات المتقلة حيث يطلق على ل مرة محاولة وان احتمال النجاح ثابت في جميع المحاوالت هذا النوع من التجارب يمى توزيع ذات الحدين شروط تجربة ذات الحدين : (تجربة عشوائية تتون من ن( من المحاوالت المتماثلة مثل إطالق صياد ( رصاصات باتجاه هدف (ل محاولة تصنف نتيجتها إلى نجاح أو فشل إصابة الهدف نجاح وعدم إصابته فشل( (جميع المحاوالت متقلة عن بعضها ( الفشل في إصابة الهدف في المرة االولى ال يؤثر على احتمال النجاح في إصابة الهدف في المرة الثانية ( احتمال النجاح أي ظهور النتيجة المرغوب فيها ثابت في ل محاولة ( مثال احتمال ظهور الصورة في تجربة إلقاء قطعة النقد مرة واحدة هو : أ 0 قانون احتمال النجاح في ر( من المحاوالت : { } ل ر( ن ر ر أ( ن ر أ( حيث ر J ن ن : عدد مرات إجراء التجربة أ : احتمال النجاح في المحاولة الواحدة متغير عشواثي ذا حدين معاماله : ن أ أي أن : : عدد مرات النجاح من ( ن( محاولة متقلة ومتماثلة صفحة مثال التاب أطلق صياد (رصاصات نحو هدف فإذا ان احتمال اصابته الهدف في ل مرة ثابتا وياوي 0 فما احتمال أن يصيب الصياد الهدف مرات عدد مرات إجراء التجربة : ن احتمال النجاح في ل محاولة ثابت : أ 0 0

130 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر (ل < احتمال نجاح الصياد في إصابة الهدف : ر.... ( ل.( صفحة مثال التاب إذا ان متغيرا عشوائيا ذا حدين ومعاماله : ن أ 0 فجد ال مما يأتي : (ل ( (ل X ( ل.( (.... ل X ( ل ( ل ( ل ( لن z لر( أي أن ل ( ل ( ل ( ل ( ل ( ل ( ل ( ل نعوض في المعادلة الابقة ( ل X ( ل (.(..7. ( ل < ل ل (. (.(. (.(.... صفحة تدريب التاب إذا ان متغيرا عشوائيا ذا حدين ومعاماله : ن أ 00 فجد ال مما يأتي :. ل ( ل X ل ( Y..7 ل.7( (.7 ل X ل ل ل ( 07

131 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر (.7(.7 (.7(.7 (.7(.7 (.7( ل ( Y ل ل ل.7 (.7(.7 (.7( مثال التاب صفحة إذا ان متغيرا عشوائيا ذا حدين ومعاماله : ن أ 0 فجد ال مما يأتي : قيم جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي قيم } {... (.( ( ل (..9.. (.( ل (.( ل.7.7. (.( ل لر( للتاد من صحة الحل يجب ان يون z لر( فالحل صحيح z لر( 0

132 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة تدريب التاب األقل غر مزارع 0 شتالت وانت نبة احتمال نجاح غر الشتلة الواحدة هي % ما احتمال نجاح غر شتالت على { 7 } قيم ر. أ 7 ن المطلوب ل X ل X ( ل ( ل ( ل ل ( ل 7 ( ولن z لر( ل X ( ل ( ل ( ل ( (.(. (.( 7. (.( ؤال إضافي إذا ان التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل ( معطى بالجدول التالي : ج. ل( ب(.. أ( ل ر( الحل: بما أن z. ج(. فإن قيمة ج تاوي : د(.. فإن :. ج. ج.. ج. ؤال إضافي إذا ان ( متغيرا عشوائيا ذو الحدين معامالته ن أ 0 أوجد ال مما يلي : أ ن ر ( ل ( ل X ن ر ل ر( أ( ر 00

133 ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر (.9. (.( ل ل ل X ل ( ل. (.(. (.( ل ن ن ن ن ن تذرة : ؤال إضافي إذا ان احتمال نجاح زراعة التفاح في منطقة جرش 0( زرع شخص ( شجرات تفاح في حديقة بيته ما احتمال نجاح زراعتها جميعا د(. ج(. ( ن ر أ ب(.( أ. ن ر ل ر( أ( ر.(.(. ل.( ( ؤال إضافي أجريت ثالث عمليات جراحية في أحد المتشفيات األردنية وان احتمال نجاح العملية الواحدة ياوي % إذا دل المتغير العشوائي على عدد العمليات الجراحية الناجحة فاتب قيم الممنة ما احتمال نجاح عملية جراحية واحدة فقط. أ ن.9.. } { ن ر ن ر أ( ( أ ر ( ل ر( (..( ل 0

134 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي إذا ان ( متغيرا عشوائيا يخضع لتوزيع ذي الحدين حيث ن ولن z ر( 7 فجد قيمة أ } { ل 7 ل ( X ل ( X ل ل ل ( ن ر حيث ل ر( أ( ر ن ر أ 7 أ( ل ل ( X أ( أ( نأخذ الجذر التعيبي للطرفين أ( أ ل ( ( ( أ( أ ؤال إضافي في تجربة رمي قطعة نقد مرتين إذا دل المتغير العشوائي ( على عدد مرات ظهور الصورة : اتب الفضاء العيني لهذه التجربة اتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ( } ص ص ( ص ( ص( ( { } { ل ( ل ص ( ص ل ص ص ل( 0

135 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي أ 0 إذا ان ( متغيرا عشوائيا ذا الحدين معاماله ن فجد ل < ن ر ل ر( أ( ر ن ر أ ل ( ل ( ل <. (.(. (.( ؤال إضافي إذا دل المتغير العشوائي ( على عدد األطفال الذور في تجربة اختيار عشوائي لعائلة لديها ( أطفال وتجيل النتائج حب الجن وتلل الوالدة فإن القيم الممنة للمتغير العشوائي ( هي : ب أ( ج( د( ؤال إضافي إذا ان احتمال أن يصيب شخص ما هدفا في ل طلقة يطلقها على الهدف ياوي 0( فإذا أطلق ( طللقات على الهدف فما احتمال أن يصيب الهدف مرة واحدة على األقل ن أ. } { ل X ل ل ( ل ل ( ولن z ل ر( ل ل ( X ن ر ن ر ل ( X ل حيث ل ر( أ( ( أ ر. (.(.97. 0

136 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال وزاري 0 منهاج جديد (إذا ان التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ع معطى بالجدول المجاور فما قيمة الثابت ج. ج... أ(. ب(... ج. ج(. ج. د( ل( (يحتوي صندوق على ( رات حمراء و (رات بيضاء حبت من الصندوق رتان على التوالي مع اإلرجاع بطريقة عشوائية إذا دل المتغير العشوائي ع على عدد الرات الحمراء المحوبة فاتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ع ن ر حيث ل ر( أ( ر ن ر أ قيم } { ن أ 9 9 ( ( ل ( ( ل ( ( ل 9 ل( ؤال وزاري 0 منهاج قديم إذا التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ع( معطى بالمجموعة اآلتية : فما قيمة الثابت ب ب( { (. (. ( }.. أ(. ب(. ج( د( ؤال وزاري 0 منهاج قديم إذا ان متغيرا عشوائيا ذا الحدين معاماله ن أ 09 فاتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي { } قيم 00

137 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ل (.9( ( (.9( (.9(.. ل ل ل( 0

138 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة حل األئلة ( إذا دل المتغير على مجموع العددين الظاهرين في تجربة إلقاء حجري نرد ومالحظة الرقمين على الوجهين الظاهرين فأجب عما يأتي : أ( جد القيم التي يمن أن يأخذها المتغير العشوائي ب(اتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ج(بين أن ل هو اقتران احتمال الفضاء العيني مجموع الرقمين الظاهرين ( 7 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( { 9 7 } قيم عدد عناصر ن ل ( ( ل ( ( ( ل ( ( ( ( ل ( ( ( ( ( ( ( ( ( ل 0

139 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( ل 7 ( ( ( ( ( ( ل ( ( ( ( ( ( ل 9 ( ( ( ( ( ل ( ( ( ( ل ( ( ( ل ( ( جدول التوزيع االحتمالي : 9 7 ر( ل ر( X صفر ل بما أن ل وأن z ر( فإن ل هو اقتران احتمال للمتغير العشوائي ( إذا ان التوزيع االحتمالي للمتغير معطى بالجدول اآلتي فما قيمة الثابت أ.. ل بما أن z ل ر(.. أ. أ أ.. إذا ان متغيرا عشوائيا ذا حدين ومعاماله : ن أ 0 فجد ال مما يأتي : ن ر أ ل أ( ر ن أ( ر ل ر( ب(ل X ج(ل Y 0

140 ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ل (.( (..9.9 لX ل.( (. لY ل ل. (.(. (.( (صندوق يحوي رات منها حمراء والبقية زرقاء اللون إذا حبت من الصندوق رات على التوالي مع اإلرجاع ودل المتغير العشوائي على عدد الرات الحمراء المحوبة فأنشئ جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي { فرة مع اإلرجاع أنني أحب الرة األولى ثم أرجعها ثم أحب الرة الثانية ثم أرجعها وهذا } ر ن ر أ( ( أ ن حيث : ل ر( ر ( ( ( ( 9 ( ( ( 9 ( ل ( ل ( 7 9 ( ( 9 9 أ ( ( ( 9 ن ل ل ل ل ( ل ر( ل 07

141 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف ( إذا ان متغيرا عشوائيا ذا الحدين معاماله ن أ 0 اتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ( إذا ان التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي معطى بالمجموعة : { فإن قيمة تاوي (. (. (. (}. أ( ب(.. ج( د(.7 إذا ان متغيرا عشوائيا ذا الحدين معاماله ن أ 0 فجد ل ( X في تجربة رمي قطعة نقد ( مرات متتالية إذا دل المتغير العشوائي على مرات ظهور التابة اتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ( زرع شخص شجرتين في حديقة منزله إذا دل المتغير العشوائي ( على عدد األشجار الناجحة وان احتمال نجاح زراعة الشجرة الواحدة 0( فأجب عما يأتي اتب قيم اتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ( زرع شخص شجرتين في حديقة منزله إذا دل المتغير العشوائي ( على عدد األشجار الناجحة وان احتمال نجاح زراعة الشجرة الواحدة ( 0( فأجب عما يأتي اتب قيمة اتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي 0( إذا ان احتمال نجاح عملية جراحية % فما احتمال نجاح عمليتين على األقل إذا أجريت ثالث عمليات 0

142 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر العامة المعيارية ثانيا : عند إجراء عملية المقارنة بين عالمتين لطالبين في نف المادة ولن بشعبتين مختلفتين يجب أوال أن نراعي ظروف تحصيل ل طالب من حيث متوى األئلة ومتوى تحصيل الشعبة ثم نحم بعد ذل أي العالمتين أفضل وللوصول إلى تل المقارنة نقوم أوال بحاب مايمى العالمة المعيارية ما هي العالمة المعيارية ز (: تتعلق العالمة المعيارية بثالثة عناصر أاية هي : : وتمى المشاهدة أو العالمة األصلية أو العالمة الخام أو التلة او الطول وغيرها : المتوط الحابي وهو مجموع قيم المشاهدة أو العالمات األصلية على عددها ع : وهو االنحراف المعياري ع ز قانون العالمة المعيارية ( ز (هو حيث ع صفرا صفحة مثال التاب إذا ان المتوط الحابي لعالمات طالب صف ما في مادة الرياضيات 0 واالنحراف المعياري للعالمات فجد العالمة المعيارية لعالمة ل من الطالب محمد الذي نال عالمة والطالب يوف الذي نال عالمة 7 ز من نص المألة نالحظ ما يلي : ع 7 ع ز العالمة المعياري للطالب محمد مالحظة : النتيجة إشارة موجبة تعني ان العالمة تنحرف ثالثة انحرافات معيارية فوق المتوط الحابي 7 العالمة المعيارية للطالب يوف هي : ز مالحظة : النتيجة ( إشارة البة تعني أن العالمة تنحرف انحرافا معياريا واحدا تحت المتوط الحابي 00

143 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 0 تدريب التاب تخضع تل طلبة الصف الخام األاي في إحدى المدار لمتوط حابي مقداره غ والنحراف معياري مقداره فإذا انت تلة أحد طلبة الصف غ فجد العالمة المعيارية لتلة هذا الطالب ز غ ع من المألة نالحظ :. ز ع ز مالحظة : النتيجة إشارة 0 البة تعني أن التلة تنحرف نصف انحراف معياري تحت المتوط الحابي صفحة 0 مثال التاب إذا علمت ان المتوط الحابي لعالمات طلبة في امتحان الفيزياء هو واالنحراف المعياري هو فجد : العالمة التي تنحرف فوق المتوط أربعة انحرافات معيارية العالمة التي تنحرف تحت المتوط بمقدار 0 ز معنى العالمة تنحرف فوق المتوط والمطلوب إيجاد العالمة أي لدينا أربعة انحرافات معيارية أي ز ع ع ز بالضرب التبادلي.. ز معنى العالمة تنحرف تحت المتوط( بمقدار أي (. بالضرب التبادلي 0

144 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة تدريب التاب جد قيمة المتوط الحابي لعالمات طلبة في مادة اللغة االنجليزية علما بأن االنحراف هديل (تنحرف فوق هذا المتوط بمقدار انحراف معياري ع. ز ع. ز 7 المعياري للعالمات وعالمة صفحة مثال التاب اعتمادا على الجدول اآلتي أجب عن الؤالين اآلتيين : في أي المبحثين ان تحصيل صفاء أفضل في أي المبحثين ان تحصيل مريم أضعف المتوط الحابي االنحراف المعياري عالمة صفاء عالمة مريم 7 التاريخ 7 7 الجغرافيا نحب ( ز للطالبة صفاء في مبحثي التاريخ والجغرافيا ع ز ز أي عالمة التاريخ تنحرف إنحرافات معيارية فوق المتوط الحابي 7 7 ز 7 أي عالمة الجغرافيا تنحرف عالمة واحدة تحت المتوط الحابي B تحصيل صفاء في مبحث التاريخ أفضل ( نحب ز للطالبة مريم في مبحثي التاريخ والجغرافيا ز 7 7 أي عالمة التاريخ تنحرف إنحرافات معيارية فوق المتوط الحابي 7 ز أي عالمة الجغرافيا تنحرف عالمة واحدة فوق المتوط الحابي 0

145 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر B تحصيل مريم في مبحث الجغرافيا أضعف صفحة 9 مثال التاب ( تقابالن العالمتين على الترتيب فجد إذا انت العالمتان المعياريتان قيمة المتوط الحابي واالنحراف المعياري للعالمات الخام ( ( ع ز ع ز ع ع ع ز ع ع بطرح المعادلة ( من المعادلة ( ينتج : بتعويض قيمة ع في إحدى المعادلتين ولتن المعادلة ( ينتج : 7 ع ع صفحة تدريب التاب إذا انت المشاهدتان 0 تقابالن العالمتين المعياريتين ( ( على الترتيب فجد العالمة المعيارية للمشاهدة 9 ع ( ع 7 ( ع 7 ع ع ع ع ز 7 ز ز 7 بطرح المعادلة ( من المعادلة ( ينتج : ع ع بتعويض قيمة ع في إحدى المعادلتين ولتن المعادلة ( ينتج : 0

146 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ز 9 ؤال إضافي إذا ان الوط الحابي لمجموعة من القيم ياوي ( واالنحراف المعياري لها ياوي ( فإن القيمة التي تنحرف انحرافين معياريين تحت الوط الحابي تاوي : د( ب( ع ج( أ( ز ؤال إضافي إذا ان الوط الحابي لعالمات اللغة العربية ( واالنحراف المعياري لها ( فإن العالمة المعيارية للعالمة (تاوي : ج. أ( ز ب(. ز ع د(. ؤال إضافي إذا ان الوط الحابي لعالمات صف ما في مادة الرياضيات ( واالنحراف المعياري لها ( فجد العالمة التي تنحرف فوق الوط انحرافين معياريين معنى تنحرف فوق الوط انحرافين معياريين ز ع ع ز 77 ؤال إضافي إذا ان الوط الحابي لعالمات صف ما في مادة الرياضيات ( واالنحراف المعياري لها ( وانت العالمة المعيارية لعالمة الطالب أحمد تاوي ( فجد عالمته الفعلية التي حصل عليها 00

147 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ع ز ؤال إضافي إذا ان الوط الحابي ألعمار مجموعة من األشخاص نة واالنحراف المعياري لها ( فإن العمر الذي ينحرف انحرافين معياريين تحت الوط الحابي هو : ب( ج( د( ع أ( ز 0

148 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة حل األئلة ( إذا ان المتوط الحابي لعالمات طالب صف ما في مادة اليمياء واالنحراف المعياري للعالمات فجد العالمة المعيارية لعالمة الطالب اهر الذي نال عالمة 7 ( ع 0( والعالمة المعيارية للطالب مهند الذي نال عالمة ع 7 ز ز 7 ز ز 7 ز ( إذا علمت أن المتوط الحابي ألطوال طالبات إحدى المدار هو م وأن األنحراف المعياري ألطوالهن فجد : أ( الطول الذي ينحرف فوق المتوط ثالثة انحرافات معيارية ب(الطول الذي ينحرف تحت المتوط انحرافين معياريين وربع انحراف معياري ع ز أ( ز ع 7 9 ب(ز.. 9 0

149 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر إذا انت المشاهدة تقابل العالمة المعيارية وان االنحراف المعياري فجد المتوط الحابي ز ع إذا انت العالمتان تقابالن العالمتين المعياريتين على الترتيب فجد قيمة المتوط الحابي واالنحراف المعياري ( ( ع ع ع بطرح المعادلة ( من المعادلة ( : نقم على ع نعوض في المعادلة ( : ع ز ع ع 0

150 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف إذا ان الوط الحابي لعالمات طلبة في أحد الصفوف في مادة العلوم ( عما يأتي : واالنحراف المعياري لها ( أجب أ( جد العالمة التي تنحرف انحرافين معياريين فوق الوط الحابي ب(جد العالمة التي تنحرف انحرافا معياريا واحدا فوق الوط الحابي ( إذا ان الوط الحابي لعالمات طالبات الصف الثاني عشر في العلوم اإلالمية ( واالنحراف المعياري لها ( فجد العالمة المعيارية لعالمات حنان وآمنة إذا انت عالماتهن في العلوم اإلالمية على الترتيب : 0 إذا ان الوط الحابي لمجموعة من القيم ياوي ( واالنحراف المعياري لها ثالثة انحرافات معيارية تحت الوط الحابي هي : ( فإن القيمة التي تنحرف د( ج( ب( أ( 00 ( إذا انت عالمتا طالبتين من الصف نفه في الرياضيات 0 والعالمتان المعيارتان المقابلتان لهاتين العالمتين هما على الترتيب فجد االنحراف المعياري لعالمات الرياضيات والوط الحابي ( إذا انت العالمة الخام 0( تقابل العالمة المعيارية ( وان الوط الحابي فإن االنحراف المعياري للعالمة الخام هو : د( ج ب أ( ( إذا ان الوط الحابي لعالمات اللغة العربية ( واالنحراف المعياري ( فإن العالمة المعيارية للعالمة ( هي : ج (0 د( 0 أ( ب( 0( صف مون من طالبة إذا انت عالمات الطالبات هديل وشروق وغدير هي 9 على الترتيب وعالماتهن المعيارية فما عالمة الطالبة غدير 07

151 أ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر التوزيع الطبيعي ثالثا : خصائص منحنى التوزيع الطبيعي أو المنحنى التراري : المتوط التوزيع الطبيعي متماثل حول العمود المقام في الوط ( µ (للتوزيع الطبيعي قمة واحدة وشله يشبه الجر (طرفي منحنى التوزيع الطبيعي تقترب من الصفر ( الماحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي تاوي واحد ( الماحة على يمين المتوط تاوي الماحة على يار المتوط ومقدارها ( 0( مالحظة : عندما يون المتوط الحابي ورمزه ( µ ولفظه ميو ياوي صفرا واالنحراف المعياري ع ياوي ( فإن التوزيع الطبيعي يمى التوزيع الطبيعي المعياري ما يهمنا معرفته مما بق : أ( أن قيمة الماحة تحت المنحنى تاوي الواحد ب(المنحنى متماثل حول المتوط أي ماحته عن يمين المتوط ماحته عن ياره 0 حل المائل يعتمد على فهم الحاالت التالية : إيجاد احتمال وقوع المتغير ( ز( تحت قيمة ما لزY أ ((أو فوقها ( ل زX أ(( أو إذا : ان محصورا بين قيمتين لب Y زY أ وذل على النحو التالي نف الماحة أ أ أ أ لزY أ نوجد القيمة من الجداول مباشرة لزX أ( لز Y 00

152 أ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ماحة المنحنى امل نف الماحة أ أ أ( لزXأ( لزX أ ا لزYأ( لزY لزYأ( ما نقوم به عند حل المائل : الحالة الاولى لز Y أ في هذه الحالة نوجد القيمة من الجداول مباشرة في تاب الرياضيات الجداول في نهاية التاب وفي الدوية في آخر الدوية أ في االمتحان تعطى الجداول في نص المألة ماحة المنحنى امل الحالة الثانية لزX أ أ( ل زY من الجداول أ لزX أ( لزY أ( أ الحالة الثالثة أ لزY أ( لزX لزYأ( من الجداول الحالة الرابعة لزY أ لزX أ( أ من الجداول ونتعرف على طريقة اتخدام هذه الحاالت من خالل األمثلة أ 000

153 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة مثال التاب إذا ان ز( متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا فجد قيمة ل مما يأتي باتخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري : ل ز. Y ل ز.7 Y لز. X لز.Y ل. زY.7 Y (ل ز. Y.9 ( من الجدول مباشرة حب الحالة األولى ((.99.7 ل ز Y من الجدول.9 من الجدول.. لز Y (لز X عند وجود الالب تقلب المعادلة رأا على عقب حب الحالة الرابعة ( لز.7Y ( لز.Y ( لز.7Y ( لزX..99 ( لزY..79 ( (ل Y. ز.7Y صفحة تدريب التاب إذا ان ز( متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا فجد قيمة ل مما يأتي باتخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري : لز. Y لز X. لزY. ز.Y ( Y.( 00

154 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر حب الحالة الأولى ( حب الحالة الرابعة ( حب الحالة الثالثة لز. Y.99 من الجداول لزX. ل ز.Y (.997 من الجداول لزY. لز.X ( لز.Y ( لزY لز.Y ( ز.Y ( Y.( لز.Y ( لزX..99 ( ل.Y (.9 ( ملاحظة هامة : يمن إيجاد االحتمال للمتغير العشوائي ( الذي يتبع أي توزيع طبيعي عن طريق تحويله إلى توزيع فإن : طبيعي معياري وبفرض أن المتوط الحابي هو µ ميو( وأن االنحراف المعياري هو σ يجما العالمة المعيارية ز( : هي µ σ ز صفحة مثال التاب إذا ان ( متغيرا عشوائيا يتبع التوزيع الطبيعي الذي متوطه الحابي وانحرافه المعياري فجد : 7 ل Y ل X σ µ 0 7 لز Y ل زY.7.99 من الجداول 7 ل Y 0 ل ( ز X ل ز. X ل ز. Y.9 ل X 00

155 Y Y أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة تدريب التاب إذا ان ( متغيرا عشوائيا يتبع التوزيع الطبيعي الذي متوطه الحابي وانحرافه المعياري فجد : Y ( ل Y ( ل µ σ ز σ µ ل 00 Y ل ز Y.9 من الجداول. ل ( ز Y ل ( ز Y ( ل زY ل ( ز Y ( ل ز. Y ل ز Y ل ( ز. X. ( ل ز. Y.77 ( ل Y صفحة 0 مثال التاب إذا ان متوط أطوال شجرة حرجية في إحدى غابات عجلون هو أمتار واالنحراف المعياري 0 وانت األطوال تتوزع توزيعا طبيعيا واختيرت إحدى األشجار عشوائيا فجد : احتمال ان ال يزيد طول الشجرة على مترا احتمال أن يون طول الشجرة أبر من أو ياوي 0 أمتار احتمال أن يون طول الشجرة محصورا بين أمتار و 9 أمتار عدد األشجار التي طولها أمتار على األقل. σ µ طول الشجرة متوط األطوال االنحراف المعياري من الجداول. ل ( ز Y لز Y.977 ل ( Y 00

156 > أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر من الجداول.. ل (. X ل ( ز X ل ( ز X لز Y. من الجداول 9. < ز>. ل < 9 ل ل ( <. ز> 00 ل ( ز < 00 ل ( ز> 00.7 ل ( ز..7 ( ل..9 ( ل ( X ل ( ز X ل ( ز X ل ( ز Y.977 B عدد األشجار التي طولها أمتار على األقل ياوي شجرة صفحة تدريب التاب إذا انت عالمات طالب في جامعة ما تتبع التوزيع الطبيعي بمتوط حابي مقداره وانحراف معياري مقداره فم يبلغ عدد الطلبة الناجحين علما بأن عالمة النجاح σ µ ل ( ز X 0 ل ( ز X ل ( X. من الجداول ل ( ز Y عدد الطلبة الناجحين هو طالب. : ؤال إضافي إذا انت أوزان طلبة إحدى المدار تتبع توزيعا طبيعيا وطه الحابي ياوي (غم وانحرافه المعياري (غم اختير أحد الطلبة عشوائيا ما احتمال أن يون من الطلبة الذين تنحصر أوزانهم بين ( غم 9( غم 000

157 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر مالحظة : يمن االتفادة من الجدول اآلتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري ز لز( صفر. µ σ ز σ µ 9 ل ( ز 9 ز ل (.. ل ( ز ل ( ز ل ( ز ل ( ز. ل ( ز ل ( ز. ( ل ( ز...9 (.. ؤال إضافي تقدم ( (طالب المتحان ما : وان توزيع نتائجهم يتخذ شل التوزيع الطبيعي المعياري بوط حابي 0( وانحراف معياري ( وانت عالمة النجاح ( اختير أحد الطلبة عشوائيا : ما احتمال أن يون الطالب من بين الناجحين ما عدد الطلبة الناجحين في هذا االمتحان ملاحظة : يمن االتفادة من الجدول اآلتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري µ σ..9 ز...9 صفر. σ 7 ز لز( µ 0 ل ( ز X ل ( ز X ل ( ز Y ل X.977 من الجدول ( عدد الطلبة الناجحين في هذا االمتحان هو : طالب

158 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي إذا انت أوزان األطفال عند الوالدة تتبع توزيعا طبيعيا وطه الحابي 0 (غم وانحرافه المعياري 0 (غم اختير أحد االطفال عشوائيا عند الوالدة ما احتمال ان يون وزنه أثر من ( ( غم ملاحظة : يمن االتفادة من الجدول اآلتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري µ σ...9 ز. σ صفر.. ز لز( µ 0 ل ( ز X ل X ل ( ز X ( ل ( ز Y..977 ؤال إضافي تتخذ أعمار شخص شل التوزيع الطبيعي بوط حابي ( نة وانحراف معياري ( نوات ما عدد األشخاص الذين تزيد أعمارهم عن نة ملاحظة : يمن االتفادة من الجدول اآلتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري µ σ.. ز.9.9 σ..7 ز لز( µ لX ل ( ز X.7. ( ( ل زX ل زY عدد األشخاص 7 شخص.7 ؤال وزاري 0 منهاج جديد إذا انت أطوال طلبة في إحدى المدار تتبع توزيعا طبيعيا متوطه الحابي ( م وانحرافه المعياري ( اختير طالب عشوائيا ما احتمال أن يون طوله (م على األقل 00

159 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ملاحظة : يمن االتفادة من الجدول اآلتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري ز ل Y أ( µ σ ز σ µ ( ل زX ل X.9. ل ز Y. ل ( ز X ؤال وزاري 0 منهاج قديم إذا انت أوزان طالب تتخذ شل التوزيع الطبيعي بوط حابي ( غ وانحراف معياري ( فما عدد الطلبة الذين تنحصر أوزانهم بين 0 (غ و (غ ملاحظة : يمن االتفادة من الجدول اآلتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري µ σ σ ز. ز لزYأ µ Y ز Y. ل ( Y ز Y 7 ل ( ل 7 Y ز Y لز Y ( لزY. لز Y ( لز.X لزY ( لزY.. (

160 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 9 حل األئلة ( إذا ان ز( متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا فجد قيمة ل مما يأتي باتخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري :.9 أ(. ل ز Y من الجداول مباشرة.99.7 ب(ل ز Y من الجداول مباشرة ج(ل ز.7 X ل ز.7 Y.9 د( لز. Y ل ( زX. ل ( ز. Y..9 ه( ل. Y ز. Y ل ( زY. ل ز. Y ل ( زY. ل ز. X ل ( زY. ( ل ز. Y. ( (إذا ان ( متغيرا عشوائيا يتبع التوزيع الطبيعي الذي متوطه الحابي وانحرافه المعياري فجد : 7 أ( ل ( Y ب(ل X µ σ ز σ µ 7 ل ز Y. 7 ل ز Y ل ( زX ل ( ز. Y.9.7 أ( ل Y. ل ( ز X ل ( ز X ب(ل X ل ( ز. Y.9. (إذا ان متوط تل طالبة في إحدى مدار عمان هو يلو غراما واالنحراف تتوزع توزيعا طبيعيا واختيرت إحدى الطالبات عشوائيا فجد : المعياري وانت التل أ( احتمال أن ال تزيد تلة الطالبة على يلو غراما ب(احتمال أن تون تلة الطالبة محصورة بين يلو غراما و يلو غراما ج(عدد الطالبات اللواتي تزيد تلهن على يلو غراما 007

161 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر µ σ ز σ µ ل ( ز. Y ل ( ز Y ل ( ز. X ل ( زY...9 أ( ل Y Y ز Y ب( ل Y ز 0 Y ل ( Y ز Y. ل (. ل ( ز Y. ل ( ز Y. ل ( ز X. ل ( ز Y ل ( ز. Y ( ل ( ز. Y ل ( ز X ل ( ز X ج(ل ( X..9. ل ( ز Y عدد الطالبات اللواتي تزيد تلهن على يلو غراما هو : 9 طالبات.. (إذا انت عالمات امتحان عام تتبع توزيعا طبيعيا متوطه الحابي 0 وانحرافه المعياري فما نبة العالمات التي تقل عن. ل ( ز Y 7 ل ز Y ل ( Y. ل ( ز. X ل ( ز Y..9 0

162 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف لز X أ تاوي :. ز( (إذا ان متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا وان أ( ل ز Y فإن قيمة ب(. أ(. ج(. د(. إذا انت أوزان طالب تتبع التوزيع الطبيعي بوط حابي ( غ وانحراف الذين تزيد أوزانهم عن ( غ معياري ( غ ما عدد الطلبة ملاحظة : يمن االتفادة من الجدول اآلتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري ز لز( (إذا انت رواتب ( موظف تتخذ شل التوزيع الطبيعي وان الوط الحابي لرواتبهم ( ينارا واالنحراف المعياري لها ( دينارا فما عدد الموظفين الذين تنحصر رواتبهم بين ( دينارا و ( ( دينارا ملاحظة : يمن االتفادة من الجدول اآلتي والذي يمثل جزءا من جدول التوزيع الطبيعي المعياري ز لزYأ( ( لين ( ز( متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا اتعمل جدول التوزيع الطبيعي المعياري إليجاد ل مما يأتي : ب( لز X أ(. لزY. ج( ل ( زY. د( ل ز X Y ز Y و( ل (. ه ل Y. ز Y. Y ز Y صفر ز( ل Y ز Y ح( ل ( 00

163 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الفصل الثالث االرتباط واالنحدار االرتباط أولا : مفهوم االرتباط : هو العالقة بين متغيرين حيث نرمز للمتغير األول بالرمز والمتغير الثاني بالرمز ص حيث يمن تابة البيانات المتعلقة بهذين المتغيرين على شل أزواج ما يلي : ص ( ( ص ( ص ( ص ن ن ثم تعيين هذه األزواج في المتوى اإلحداثي ويمى الشل الناتج ( شل االنتشار( تحديد أنواع االرتباط من شل االنتشار : العالقة طردية ( موجبة : طردية تعني لما زادت قيمة ( ازدادت قيمة ص( مثل عالقة اعات العمل باألجرة اليومية لما ازدادت اعات العمل ازدادت األجرة ( العالقة طردية تامة ( موجبة (: وذل عندما تقع النقط جميعا على الخط المتقيم ( العالقة عية ( البة عية تعني لما زادت قيمة ( قلت قيمة ص( مثل عالقة رعة يارة بزمن الوصول لما زادت رعة اليارة قل زمن الوصول 0

164 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( العالقة عية تامة البة وذل إذا وقعت النقط جميعا على الخط المتقيم ( ال توجد عالقة ارتباط خطي بين ص مثل عالقة التحصيل للطلبة بلون عيونهم ويون شل االنتشار في تجمع النقاط على صورة دائرة صفحة مثال التاب يبين الجدول اآلتي عالمات طالب في امتحان الرياضيات والتاريخ : رقم الطالب 7 عالمة الرياضيات 9 7 عالمة التاريخ ص ارم شل االنتشار بين المتغيرين ص محددا نوع العالقة التي تربط بينهما 7( 9 ( في المتوى اإلحداثي : ص نمثل االزواج المرتبة : ( ( 7 ( من الشل نالحظ أن العالقة بين المتغيرين ص هي عالقة طردية ( موجبة 0

165 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ص صفحة تدريب التاب النقط : (. (. (. ( 7. ( (. ( 7. تمثل القيم المتناظرة لمتغيرين : ص محددا نوع العالقة التي تربط بينهما من الشل نالحظ أن العالقة بين المتغيرين : ص هي عالقة عية ( البة معامل ارتباط بيرون : إذا انت لدينا األزواج المرتبة التالية للمتغيرين ص : ص ( ( ص ( ص ( ن ص ن (ص ص z ر ص ن z ص z فإن معامل ارتباط بيرون الخطي ورمزه ر( هو : ن وترمز إلى قيم المتغير وترمز ص إلى قيم المتغير ص حيث ن صفحة مثال التاب إعادة الحل على معامل ارتباط بيرون : ( ايجاد المتوط الحابي لعالمات مبحث الرياضيات : 7( ( ايجاد المتوط الحابي لعالمات مبحث التاريخ : 97( 0

166 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( إنشاء الجدول الآتي : ص (ص ص ص ص ص المجموع ص دائما المجموع هنا ياوي الصفر ن (ص z ص ر ص ن ن z ص z.. ر هذه االعمدة التي تهمنا في معامل االرتباط B توجد عالقة طردية ضعيفة بين عالمات هؤالء الطلبة في هذين المبحثين مالحظة هامة : قيمة معامل االرتباط محصورة بين ( و ( مخطط توضيحي لمعامل االرتباط ضمن هذا المجال الارتباط طردي موجب( ضمن هذا المجال الارتباط عي ( الب(.... عندما ر عندما ر عندما ر ارتباط طردي تام ارتباط عي تام لا يوجد ارتباط عندما ر 0 عندما ر 0 عندما ر 0 عندما ر 0 نقول ارتباط طردي قوي ألنه قريب من ( ( نقول ارتباط طردي ضعيف ألنه قريب من( ( نقول ارتباط عي ضعيف ألنه قريب من الصفر نقول ارتباط عي قوي ألنه قريب من ( 00

167 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة تدريب التاب احب معامل ارتباط بيرون بين المتغيرين : ص ما في الجدول اآلتي : 7 9 ص 7 9( 7 7( 7 ص نقوم بإنشاء الجدول اآلتي : ص ص ص (ص ص 9 7 ص ص 9 7 المجموع (ص z ص ر ص ن ن z ص z ن 7 ر B توجد عالقة عية قوية بين المتغيرين ص صفحة مثال التاب z إذا ان ص متغيرين وعدد قيم ل منهما ( 0

168 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ص z ص ن z (ص ص فاحب معامل ارتباط بيرون بين هذين المتغيرين محددا نوع العالقة بينهما ص z (ص ر ص ن ن z ص z.7 ر B توجد عالقة عية قوية بين هذين المتغيرين تدريب التاب صفحة إذا ان ص متغيرين وعدد قيم ل منهما 0( z z ص 9 ص z (ص ص فاحب معامل ارتباط بيرون بين هذين المتغيرين محددا نوع العالقة بينهما ص (ص z ر ن ص ن z ص z ن. 9 ر العالقة طردية موجبة أثر التعديالت الخطية في قيمة معامل ارتباط بيرون : إذا عدلت قيم المتغيرين ص حب العالقة : * أ ب ص* ج ص د حيث : أ ب ج أعداد حقيقية فإن معامل االرتباط ( ر بين : * ص* ياوي : 0

169 ص ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر إذا انت إشارتا أ ج متشابهتين ( معامل االرتباط ر ر إذا انت إشارتا أ ج مختلفتين ( معامل االرتباط صفحة مثال التاب إذا ان معامل ارتباط بيرون بين المتغيرين : ص المشاهدات بعد التعديل في ل مما يأتي : هو 0 فجد معامل االرتباط بين * ص* اللذين يمثالن * ص* ص * ص* * ص* ص ص* ص * ( نالحظ ان معامل هو ( موجب ومعامل ص هو موجب. B المعامالن لهما نف اإلشارة لذا فإن ر ص* * ( نالحظ أن معامل هو ( الب ومعامل ص هو موجب. B المعامالن لي لهما نف اإلشارة لذا فإن ر ص ص* * نالحظ أن معامل هو ( الب ومعامل ص هو ( الب B المعامالن لهما نف اإلشارة لذا فإن ر 0 صفحة تدريب التاب إذا ان معامل ارتباط بيرون بين المتغيرين : ص هو 0 فجد معامل االرتباط بين * ص* اللذين يمثالن المشاهدات بعد التعديل في ل مما يأتي : 0

170 ص ر ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ص* ص * ص* ص * ص* ص * 7 ص* * نالحظ أن معامل هو ( الب ومعامل ص هو ( الب 0 B المعامالن لهما نف اإلشارة لذا فإن ر ص* * نالحظ ان معامل هو ( موجب ومعامل ص هو ( ( موجب B المعامالن لهما نف اإلشارة لذا فإن ر 0 * 7 ص* ص نالحظ أن معامل هو 0( الب ومعامل ص هو ( موجب 0 B المعامالن لي لهما نف اإلشارة لذا فإن ر ؤال إضافي إذا ان ص متغيرين وعدد قيم ل منهما ( ( z z ص ر ص z ر (ص ر فاحب معامل ارتباط بيرون بين هذين المتغيرين محددا نوع العالقة بينهما (ص z ص ر ص ن ن z ص z ص ن.7 ر العالقة طردية قوية 07

171 ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال إضافي إذا ان معامل ارتباط بيرون بين المتغيرين ص ياوي 0 عدلت قيم ل من المتغيرين ص حب العالقة ص* فإن معامل ارتباط بيرون بين * ص* ياوي : *.... أ( ب( ج( د( نالحظ أن معامل هو ( موجب ومعامل ص هو ( الب 0 B المعامالن لي لهما نف اإلشارة لذا فإن ر ؤال إضافي يمثل الشل المجاور شل االنتشار بين المتغيرين ص فإنه يمن الحم على نوع العالقة بين المتغيرين ص على أنها : تامة أ( ب( طردية ج( عية د( ال توجد عالقة ؤال إضافي احب معامل ارتباط بيرون الخطي بين المتغيرين ص في الجدول اآلتي : 7 9 ص z (ص ص ر ص ن ن z ص z 9 9 ( 7 ( علما بأن : ن ص 0

172 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ص ص ص 9 ص 9 9 (ص ص ص 9 7 المجموع. ر ؤال إضافي إذا ان معامل االرتباط بين ص ياوي 0 فجد قيمة معامل االرتباط بين * ص* ص* ص حيث * نالحظ أن معامل هو ( موجب ومعامل ص هو ( الب المعامالن لي لهما نف اإلشارة لذا فإن ر 0 B ؤال إضافي إذا مثلت العالقة بين المتغيرين ص في شل االنتشار المجاور حيث وقعت النقاط جميعها على خط متقيم اتب نوع عالقة االرتباط العالقة طردية تامة وتاوي ( ؤال وزاري 0 منهاج جديد ما نوع العالقة التي تربط بين المتغيرين ص في شل االنتشار المجاور أ( طردية موجبة( ب( طردية تامة ج( عية تامة د( عية البة 00

173 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ؤال وزاري 0 منهاج جديد z وان : إذا ان ص متغيرين وعدد قيم ل منهما 9( 9 ص ص ص z (ص z فاحب معامل ارتباط بيرون بين هذين المتغيرين ص 9 9 ص z (ص ر ص ن ن z ص z 9 9 ر ن ؤال وزاري 0 منهاج قديم ( معتمدا شل االنتشار المجاور الذي يبين العالقة بين المتغيرين ص ما قيمة معامل االرتباط ر( بين المتغيرين ص 0 0 ب( أ( ج( د( إذا ان ص متغيرين عدد قيم ل منهما ( وان z (ص فاحب معامل ارتباط بيرون الخطي ر( z صر ص 9 z بين المتغيرين ص z (ص ص ر ص ن ن z ص z ر ص 9 ن 0

174 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 9 حل األئلة النقط 0( 0 ( ( ( 9( ( ( تمثل القيم المتناظرة لمتغيرين ارم شل ص ا االنتشار بين المتغيرين : ص محدد نوع العالقة التي تربط بينهما 9 7 العالقة هي عية ( البة 7 9 ( الجدول اآلتي يبين بعد مؤة اتهالية عن مرز المدينة باليلومتر ( وحجم مبيعات المؤة باأللف دينار شهريا ص( لخم مؤات احب معامل االرتباط بين المتغيرين ص ص ص 9 ص 9 7 ص (ص 9 7( 9 ( ص ص ص ص 7 9 المجموع (ص z ص ر ص ن ن z ص z ن 0

175 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ر ( احب معامل االرتباط بين المتغيرين : ص للقيم المبينة في الجدول اآلتي : ص ص (ص ص 9 ص 9 ( ص ص ص ص المجموع ( (ص z ص ر ص ن ن z ص z ن ( إذا ان ص متغيرين وعدد قيم ل منهما 7( z ر 7 (ص ص z ص z ص أ(اوجد معامل ارتباط بيرون بين المتغيرين : ص ب( حدد نوع العالقة بينهما ر ص ن ن z ص z. ر ب( العالقة عية ضعيفة ( البة ص 7 7 ن z (ص 0

176 ص ص أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( أي معامالت االرتباط اآلتية أقوى :.9.. ج أ(.7 ب( د( وذل ألنها أقرب إلى إذا ان معامل ارتباط بيرون بين المتغيرين : ص هو 0 فجد معامل االرتباط بين * ص* في ل مما يأتي : ص* * أ( 9 ص* ص ب(* 7 ص* ص 7 ج(* ص* أ( * 9 نالحط أن معامل هو 9( الب ومعامل ص هو ( الب B المعامالن لهما نف اإلشارة لذا فإن ر 0 ص* ص ب(* نالحط أن معامل هو ( موجب ومعامل ص هو ( موجب B المعامالن لهما نف اإلشارة لذا فإن ر 0 7 ص* ص 7 ج(* نالحط أن معامل هو 0( الب ومعامل ص هو ( موجب B المعامالن لي لهما نف اإلشارة لذا فإن ر 0 00

177 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف ( إذا ان معامل االرتباط بين المتغيرين ص ياوي 09( فإن االرتباط بين ص : أ(طردي قوي ب(عي قوي ج(طردي تام د( عي تام ( إذا ان معامل االرتباط بين ص هو 0( فإن قيمة معامل االرتباط بين * ياوي : ص* ص ص* حيث *.... أ( ب( ج( د( ( جد معامل ارتباط بيرون ر( بين المتغيرين ص في الجدول اآلتي : ص ( إذا ان ص متغيرين عدد قيم ل منهما وان z z ص z ص (ص فاحب معامل ارتباط بيرون الخطي بين المتغيرين ص ص ( احب معامل ارتباط بيرون بين المتغيرين ص في الجدول اآلتي : 9 ص 0

178 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر خط االنحدار ثانيا : معادلة خط االنحدار : هي المعادلة الخطية التي يمن من خاللها التنبؤ بقيمة أحد المتغيرين إذا علمت قيمة المتغير اآلخر وهي على الشل التالي : ص^ أ ب حيث ص^ هي القيمة المتنبأ بها وتقرأ صاد هات حيث معنى هات باللغة االنليزية قبعة ن z أ ن z (ص ص إيجاد قيمة أ ب : ب ص الخطأ في التنبؤ : عند تمثيل خط االنحدار على شل خط متقيم نالحظ أن بعض النقط التي تمثل العالقة بين ص ال تقع على الخط المتقيم ولذل تبب خطأ في التنبؤ يعبر عنه بالصورة اآلتية : الخطأ في التنبؤ صر صر^ حيث صر هي القيمة الحقيقية مثال التاب صفحة 0 الحظ صاحب محل لبيع األجهزة الهربائية وجود عالقة بين عدد اعات العمل وعدد االجهزة المبيعة اآلتي : عدد اعات العمل عدد األجهزة المبيعة 7 تنبأ بعدد األجهزة المبيعة إذا عمل صاحب المحل مدة اعات خطوات ( (نوجد الوط الحابي لقيم ( : 7 7 ( ص (نوجد الوط الحابي لقيم ص( : 0

179 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر (ثم نقوم بإنشاء جدول : ص (ص 9 ص 7 ص ص 7 المجموع (ص ص z أ ن z. 7 أ (إيجاد قيمة ن أ ب ص.. 7 (معادلة خط االنحدار : ص^ أ ب. ص^. واآلن إذا عمل صاحب المحل مدة اعات فإن : جهاز... ص B يمن ان يبيع صاحب المحل جهاز إذا عمل مدة اعات مثال التاب صفحة 0 الجدول اآلتي يبين عالمات خمة طالب في امتحان لمبحثي الجغرافيا والتاريخ عالمته القصوى : رقم الطالب عالمة الجغرافيا ( 9 7 عالمة التاريخ ص( جد معادلة خط االنحدار للتنبؤ بعالمة مبحث التاريخ إذا علمت عالمة مبحث الجغرافيا قدر عالمة طالب في مبحث التاريخ إذا انت عالمته في مبحث الجغرافيا 0 0

180 صر أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ( جد الخطأ في التنبؤ بعالمة طالب في مبحث التاريخ إذا انت عالمته في الجغرافيا ( : 97 ( : ص ( نوجد الوط الحابي لقيم ( نوجد الوط الحابي لقيم ص( ننشئ الجدول : ص ص (ص ص ص 7 9 المجموع (ص ص z أ ن z ن. أ. أ ص نوجد قيمة : ب... معادلة خط االنحدار : ص^ أ ب هي : ص^ B إذا انت عالمة الطالب في مبحث الحغرافيا 0 فإن 0 B ص. 7.. الطالب الذي حصل على عالمة في مبحث الجغرافيا انت عالمته الحقيقية في مبحث التاريخ 0 ما في الجدول : 7... العالمة المتنبأ بها في مبحث التاريخ هي : ص^ صر ^ B الخطأ في التنبؤ القيمة الحقيقية القيمة المتنبأ بها : 07

181 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 0 تدريب التاب الجدول اآلتي يبين معدل أربعة طالب في امتحانات الثانوية العامة والجامعة : رقم الطالب 7 معدل الثانوية العامة ( 9 7 معدل الجامعة ص( اجب عما يلي : جد معادلة خط االنحدار للتنبؤ بمعدل الجامعة إذا علم معدله في الثانوية العامة ( تنبأ بمعدل طالب في الجامعة إذا ان معدله في الثانوية العامة ( جد الخطأ في التنبؤ بمعدل طالب في الجامعة إذا ان معدله في الثانوية العامة 0 ( ( ( ص ننشئ الجدول : ص ص ص (ص ص المجموع. ب ص أ 7. 7 ن z (ص ص أ ن z B معادلة خط االنحدار : ص^ أ ب هي : ص^. : (إذا ان معدل الطالب في الثانوية العامة هو فإن 0

182 صر أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ص (الطالب الذي ان معدله في الثانوية العامة 0 ان معدله الحقيقي في الجامعة 7. الخطأ المتنبأ به بمعدل الطالب في الجامعة هو : ص^ صر ^ الخطأ في التنبؤ مثال التاب صفحة 0 إذا ان ص متغيرين وعدد قيم ل منهما z z (ص إذا علمت قيم فجد معادلة خط االنحدار للتنبؤ بقيم ص ص ص ن z (ص ص جد قيمة أ ن z ص أ جد قيمة ب معادلة خط االنحدار : ص^ أ ب هي ص^ B صفحة 0 تدريب التاب إذا علمت أن معادلة خط االنحدار للعالقة بين عدد اعات العمل اليومي ( وعدد االخطاء التي يرتبها الموظف في هذا اليوم ص( هي : ص^. فأجب عما يأتي : ( تنبأ بعدد االخطاء التي يرتبها موظف يعمل مدة اعات يوميا إذا ان عدد االخطاء التي يرتبها موظف يعمل اعة يوميا هي أخطاء فجد الخطأ في التنبؤ ( إذا ان الموظف يعمل مدة اعات يوميا فإن : ص^. 7 ص ر : ص^. 00

183 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر الخطأ في التنبؤ صر صر ^ ؤال إضافي إذا انت معادلة االنحدار الخطي للعالقة بين عدد اعات الدراة اليومية ( والمعدل التحصيلي ص( هي : فأجب عن ل مما يأتي : 7 ص^ قدر معدل طالب يدر ( اعات يوميا إذا ان معدل طالب در (اعات يوميا ( 0 فجد الخطأ في التنبؤ للمعدل الذي حصل عليه فإن ص^ ( عندما 7 فإن : صر ( عندما صر ^ صر 7 الخطأ في التنبؤ ^صر ؤال إضافي إذا ان ( يمثل عدد اعات العمل اليومي في مصنع ما ص( مية االتهال اليومي من الهرباء في المصنع نفه z ص باليلو واط /اعة جمعت البيانات اآلتية لتة مصانع : z (ص ص فجد ما يلي : ( معادلة خط االنحدار الخطي للتنبؤ بقيم ص إذا علمت قيم ( الخطأ في التنبؤ لمية اتهال الهرباء لمصنع عمل 9 اعات في أحد األيام وان اتهاله الحقيقي من الهرباء ن في ذل اليوم يلو واط /اعة (ص ص z أ ن z ب ص أ 0

184 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر معادلة خط االنحدار ص^ أ ب هي : ص^ صر ( 9 9 ص^ الخطأ في التنبؤ صر ص^ر ؤال وزاري 0 منهاج جديد إذا علمت أن معادلة خط االنحدار للعالقة بين عدد اعات العمل اليومي ( وعدد االخطاء التي يرتبها الموظف في هذا اليوم ص( هي : ص^. فأجب عما يأتي : ( تنبأ بعدد االخطاء التي يرتبها موظف يعمل مدة اعات يوميا إذا ان عدد االخطاء التي يرتبها موظف يعمل اعة يوميا هي أخطاء فجد الخطأ في التنبؤ ( إذا ان الموظف يعمل مدة اعات يوميا فإن : ص^. ص ر : ص^. الخطأ في التنبؤ صر صر ^ ؤال وزاري 0 منهاج قديم إذا انت معادلة االنحدار الخطي البيط للعالقة بين معامل الذاء ( ومعدل التحصيل ص( هي : فتنبأ بالمعدل التحصيلي لطالب معامل ذائه. ص^ 7. عندما فإن ص^ 0

185 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 0 حل االئلة (الجدول اآلتي يبين معدل خمة طالب في الصفين : التاع والعاشر رقم الطالب 9 7 التاع ( 7 7 العاشر ص( أ( جد معادلة خط االنحدار للتنبؤ بمعدل الطالب في الصف العاشر إذا علم معدله في الصف التاع ب(تنبأ بمعدل طالب في الصف العاشر إذا ان معدله في الصف التاع ج(جد الخطأ في التنبؤ بمعدل طالب في الصف العاشر إذا ان معدله في الصف التاع ( ( ص أ( ننشئ الجدول ص. (ص ص z أ ن. 7. ص أ ب ص ص (ص ص المجموع z ن.. معادلة خط االنحدار ص^ أ ب هي ص^ 0

186 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ب(عندما تون ص القيمة المتنبأ بها ص^. 7. الخطأ في التنبؤ صر صر^ (إذا ان ص متغيرين وعدد قيم ل منهما z z (ص للتنبؤ بقيم ص إذا علمت قيم ص ص فجد معادلة خط الانحدار ن ص z (ص أ ن z ص أ ب معادلة خط االنحدار ص^ أ ب هي : ص^ (إذا علمت أن معادلة خط االنحدار للعالقة بين قيمة رأ المال( واألرباح النوية لشرة باأللف دينار ص( هي : ص^. فجد الخطأ في التنبؤ بأرباح شرة رأ مالها ألف دينار وأرباحها النوية 00 ألف دينار. صر 7. ص^. الخطأ في التنبؤ صر ص^ 7. 00

187 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر اختبر نف (معتمدا الجدول التالي حيث( عدد اعات الدراة اليومية لخمة طالب رقم الطالب 7 عدد اعات الدراة ( 9 العالمة ص( ص( عالمة ل منهم في امتحان ما اتب معادلة خط االنحدار للتنبؤ بقيم ص( إذا علمت قيم ( (إذا ان ص يمثالن متغيرين عدد قيم ل منهما ( وان : أ ص 7 أ(جد معادلة خط االنحدار للتنبؤ بقيم ص إذا علمت ب(جد الخطأ في التنبؤ إذا انت وقيمة ص الحقيقية المقابلة لها ( (إذا علمت أن معادلة خط االنحدار للعالقة بين عدد اعات الدراة ( والمعدل في الثانوية العامة ص( هي : ص^ ا(ماقيمة ل من أ ب ب( درت طالبة ( اعات يوميا وحصلت على معدل ( احب الخطأ في التنبؤ للمعدل الذي حصلت عليه الطالبة (إذا ان ص متغيرين عدد قيم ل منهما ( وان z z (ص ص فجد معادلة خط ص االنحدار للتنبؤ بقيم ص إذا علمت قيم 0

188 ظ ظ أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر صفحة 00 حل أئلة الوحدة (بم طريقة يمن اختيار مهندين و فنيين لتوين لجنة من مهندين و فنيين طرائق اختيار اللجنة : ل ل 9 ر( (جد قيمة ر( التي تحقق المعادلة : ل نقم الطرفين على ر( ل ( ر( ل ( ر ر ل ل. فجد : أ (إذا ان ( متغيرا عشوائيا ذا حدين ومعاماله : ن ( أ(قيم ب(التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ( ن ر أ(..... (.(... (.( أ(قيم { } ن ر ( ب( حب معادلة التوزيع دي الحدين : ل ر( أ( ر... (.( ل ( ل ( ل ( (إذا ان الوط الحابي ألعمار مجموعة من األشخاص هو نة واالنحراف المعياري لها فجد العمر الذي. ل(. ينحرف انحرافين معيارين تحت الوط الحابي 0

189 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ز نة ع حب معادلة العالمة المعيارية : ز ع فإن (إذا ان التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ( معطى بالمجموعة : ب({ فجد قيمة ب( (. (. ({ بما أن z ر( ل..9 ب.9 ب ب.. إذا ان معامل ارتباط بيرون بين المتغيرين : ص هو.( فجد معامل االرتباط بين * ص* في ل مما يأتي : أ(* ص* ب(* ص* ص أ( * ص* ص ص نالحظ أن معامل هو ( الب وأن معامل ص هو ( الب المعامالن لهما نف اإلشارة لذا فإن ر 0 ب( * ص* ص نالحظ أن معامل هو ( الب وان معامل ص هو ( موجب المعامالن لي لهما نف اإلشارة لذا فإن. ر 7 (الجدول اآلتي يبين القيم المتناظرة للمتغيرين : ص : أ(جد معادلة خط االنحدار للتنبؤ بقيمة ص إذا علمت قيمة ب( تنبأ بقيمة ص إذا ان 7 ص 0

190 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ج( جد الخطأ في التنبؤ بقيمة ص إذا ان ( أ( 7 7 ( ص ننشئ الجدول : ص ص (ص ص ص 7 المجموع. ص z (ص أ ن z ص أ 7..7 ب ن.7 معادلة خط االنحدار ص^ أ ب هي : ص^. ب(عندما ص^ : 7 ج(عندما فإن ص..7. ص^ الخطأ في التنبؤ القيمة الحقيقية القيمة المتنبأ بها.. ص ر ص^ 7 (إذا ان ز( متغيرا عشوائيا طبيعيا معياريا فجد قيمة ل مما يأتي باتخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري :.9 أ(لزY.7 من الجداول مباشرة 07

191 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر ب( لزY. من الجداول.79. ل ز Y. ج( لز X من الجداول.. ل ( ز X. د(ل ز Y ل ز Y..99. لز.Y ( ه( ل. Y ز Y ل ز Y.( ل ز.X( لز.Y ( ل ز.Y(( لز.Y ( (. 9 (إذا ان ( متغيرا عشوائيا يتبع التوزيع الطبيعي الذي وطه الحابي 9 وانحرافه المعياري ( فجد : 9 ( ب( ل X أ(ل Y µ σ ز σ µ 9 7 ( ل ( زY ل Y لز Y ( لزX ل ز Y ل ز X ب(ل X ل ( ز. X ل زY (إذا ان متوط معدل طالبة في إحدى مدار عمان واالنحراف المعياري وانت المعدالت تتوزع توزيعا طبيعيا واختيرت إحدى الطالبات عشوائيا فجد : أ( احتمال أن ال يزيد معدل الطالبة على 0 ب(احتمال أن يون معدل الطالبة محصورا بين 0 و 9 ج عدد الطالبات اللواتي يزيد معدل ل منهن على 0 07

192 Y أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر µ σ ز σ µ لز Y 0 7 ل ز Y ل ( ز Y ل ز X.7. أ( ل Y 7 Y ز Y 0 ( 9 ب(ل 7 Y ل ( ز Y ل زY Y ز Y( ل ( ز X ل زY ( ل زY ( ل ( ز Y ( ل ز X ج(ل ( X : ل ( ز X ل زY.977 عدد الطالبات اللواتي يزيد معدل ل منهن على 0 هو 977 طالبة

193 أدبي فندقي وياحي المنير في الرياضيات األتاذ منير أبو بر